数学一旦进入到无穷的世界，就会出现一些诡异的现象，可能会颠覆你的认知。
比如正整数和正偶数哪个多？
但是数学家发现：它们其实一样多。
证明的方法就是找一一对应关系。比如你的左手大拇指、食指、中指、无名指和小指能一一对应右手相应的手指，那两只手所包含的手指数就一样多。
每只手可以看成一个集合，而手指就是集合中的元素。
数学语言就是：如果两个集合里的元素能够一一对应，那它们的元素就一样多。
我们取正整数1，2，3，4，5，……n，……
将每一个元素都乘以2，得到：2，4，6，8，10，……2n，……
前者正好是全体正整数，后者正好是全体正偶数，所以它们一样多。
正因为它们都是无穷的，所以出现了这种匪夷所思的情况，四百年前的伽利略也提出过类似的悖论。
历史上无数数学家都意识到了无穷的可怕，所以对它采取逃避的措施，连数学王子高斯都不敢面对无穷这头怪兽。
他曾说过：“……我首先反对将无穷量看作是一个实在的量，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”
这也代表了当时数学家的主流观点，他们只承认“潜无穷”（potential infinite）的存在，因为无穷意味着永远没有完成的那一刻。
然而有一位勇士站了出来，誓要制服这头怪兽，他就是现代集合论的开创者康托尔。
他说无穷并非“潜无穷”，它是实在存在且完整的，所以称之为“实无穷”(completed infinite)。
他提出了无穷集合论，认为我们只需要调整一下用于有限数量时的思维习惯，就能将无穷融入数学逻辑中。
在无穷的世界里，部分可以等于整体。
他更进一步，提出了描述无穷世界的规则：基数（又称为“势”）。
就如同衡量超级富豪的财富，不能再用具体精确的几万来描述，而是先要比较他们的数量级是千亿还是万亿级别一样。
回到正整数，它虽然无穷无尽，但却是可数的，也就是可以按照1，2，3，4……的顺序进行计数，他将这类无穷的基数定义为：א0（阿列夫零），也就是最基本的无穷。
然后他发现有理数和整数居然拥有相同的基数，换言之，有理数和整数一样多！
他将整数正负交错排序，形成横纵表格，中间的数代表横纵两个整数的比值。我们知道所有有理数都是可以化为分数或整数的形式，这也就意味着这张无穷的表格将包含所有的有理数。
然后他采取斜45°不停折返的方式，显然可以贯穿表格中所有的数，无一遗漏（重复的可以不计）。然后他将贯穿起来的数再用正整数进行编号，那么正整数就可以与所有有理数一一对应，这也就证明了有理数的基数也是א0（阿列夫零）。
康托尔就是运用现代集合论的强大武器，在无穷的世界里披荆斩棘，驯服了两千年来让无数数学家避之不及的怪兽，找到了营造数学大厦的可靠基石。
1900年，庞加莱在第二次国际数学大会上兴高采烈地宣布：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
原点阅读入驻小红书啦！
每天更新科普小知识
↓ 识别二维码直达主页 ↓
点个关注哟！
欢迎加入清华原点阅读和小伙伴们微信读者群
请联系微信mashuo577044（添加时请注明来意）
