从实数到复数，可以看成是从一维实数轴到二维复平面的拓展，那么复数还能继续扩展？
两百年前，爱尔兰神童威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）就思考过这个问题，并且给出的答案对数学产生了深远影响。
哈密顿18岁之前没去过学校，而是由身为语言学家的叔叔指导学习。极其早熟的心智加上独特的培养方式，让他成了远近闻名的神童，十三岁时已经通晓13门语言（包括：巴利语、梵文、阿拉伯语和马来语）。
他年少时（1813年），曾与一位来自美国的神童Zerah Colburn进行过一次心算比赛，结果落败。没想到这反而激发起哈密顿对数学的兴趣，有趣的是对方多年后却成了一位语言学家。
进入大学后，哈密顿酷爱数学与文学，还在都柏林三一学院读本科时，他就被聘为天文学教授。
那时的他曾感叹复数的精妙。
如果我们用向量空间来理解数，那么实数就是一维向量，它对应实数轴上的点；而复数则是二维向量，它对应复平面上的点。无论是几维的向量，加法运算都能实现，但乘法运算却不能保证。
而复数的精妙就在于，它可以相乘。任意两个复数相乘：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，结果还是一个复数，这说明它们之间的运算是封闭的，这样就构建出了一个代数。
这源于我们定义了一个重要的乘法规则：i·i=-1。
于是，哈密顿设想能不能定义一种新的乘法规则，让三维向量也能进行乘法运算呢，于是他模仿复数的形式，构建出了三元组：a+bi+cj。
然而，却迟迟找不到三元组乘法规则。
这个问题就这样困扰了哈密顿八年（从1835年开始），直到1843年10月16日星期一，正在运河边散步的哈密顿突然灵光乍现，为什么不放弃三元组，直接采用四元组，这样就能构建出满足代数运算的超复数来了。
这就是他提出的四元数：a+bi+cj+dk。
他放弃了乘法的交换律，确定了这样的乘法规则：i·i=j·j=k·k=-1，并构建了一个顺时针圆环。
任意两个数按照顺时针顺序相乘，都会得到下一个数，比如：i·j=k。
而按逆时针顺序相乘，会得到下一个数的相反数，比如：j·i=-k。
如此一来，任意四元数之间就能进行乘法运算，而且结果还是一个四元数，这不正是哈密顿苦苦追寻的超复数么。
哈密顿兴奋不已，急忙拿出小刀，将自己的惊人发现刻在了布鲁厄姆桥的石栏上：i²=j²=k²=ijk=-1。
哈密顿通过放弃乘法交换律，创造出了新的代数学。
原来所有复数都可以用四元数来表示：a+bi=a+bi+0j+0k。
而到了四元数系，某些方程，如：x²+1=0，在四元数范围内将有无限多个解。
原来随着数系的拓展，我们可以通过放弃一些旧的性质，而得到一些新的性质。
从自然数系N中，减去一个数总会减小的规则，到了整数系Z中不再成立；在复数系C中，非零实数的平方永远为正也不再成立；在四元数系H中，n次方程最多有n个根的性质也不再成立。
这也成为数学史上最重要的启示之一：只要放弃一些来自直觉的天经地义的规则，就能创造出新的数学来。
几乎在同一时代，罗巴切夫斯基和黎曼放弃了平行公设，创造出了具有内在一致性的新几何学。
与黎曼几何一样，人们一开始并不知道这种运算复杂的四元数有什么用。
直到麦克斯韦在统一电与磁的过程中，发现四元数能很好地描述一个给定向量在三维空间中绕一个轴旋转并伸缩，而这些旋转与电磁场的变换很类似。
麦克斯韦将四元数的数量与向量部分分开处理，并借助哈密顿的另一项重要发现——哈密顿算子∇(Nabla)，创造了大量的向量分析，而最终提出了麦克斯韦方程组。
人们逐渐意识到，超前的数学理论有多重要。
哈密顿一直认为文学与数学是近似的学科——都是抽象思维的文字与符号。他曾说过：“诗与数学是近亲。”或许这正是他构造出新的代数学的灵感源泉。
原点阅读入驻小红书啦！
每天更新科普小知识
↓ 识别二维码直达主页 ↓
点个关注哟！
欢迎加入清华原点阅读和小伙伴们微信读者群
请联系微信mashuo577044（添加时请注明来意）
