数学王子高斯一生有很多惊人的成就，而接下来这个惊人之作，其价值不可估量，因为它让高斯坚定了走数学之路，而不是成为一个语言学家。这是人类之幸。
高斯还是哥廷根大学新生的时候（距离他19岁生日还有一个月），仅用了一夜就解决了一个困扰几何学家两千年的难题：用尺规画出正十七边形。
虽然这个问题的确是在1796年3月30日解决的，但高斯在日记中记录，之前几个月的时间里，他一直在思考一些数论问题，而这恰恰是关键。高斯为了纪念自己的发现，从那天开始连续记了18年的数学日记（Mathematisches Tagebuch）。
他并没有写出尺规作图（没有刻度的直尺和圆规）的具体步骤，而是用数论的方法证明了为什么能用尺规画出正十七边形。当然他肯定知道怎么作图，否则也无法解决这个问题了。
在此之前笛卡尔就有论文很清楚地说明了：给定单位长度后，如何用几何方法把线段的长度加减乘除以及开平方。（笛卡尔在1637年发表了一篇著名的数学论文《几何学》（La Géométrie），探讨了利用代数手段解决几何问题的方法。）
那我们就来看看高斯究竟是怎么做的。
其实高斯只做了一件事，就是找到cos(2π/17)的只含二次根式的表达式。
对于x^17-1=0这个方程在复平面上共有17个根，他们呈单位圆上的十七等分。
我们假设g=cos（2π/17）+i·sin（2π/17），那么其中16个根，恰好就是g的1次方到16次方，而第17个根就是x=1，也可以说是g的17次方。
x^17-1可以这样被因式分解：
因为g是上述分圆方程的一个根，所以用g代入x等式成立，可得:
也即：
接下来高斯就要开始他的表演了：
由于这两组内的根（每个括号内的两个根）都两两形成共轭。
什么叫共轭，就是两个复数关于实数轴对称。
所以他们相加，虚数部分就抵消了，而相乘也正好等于一个实数。
a+a'即g的1次方到16次方之和，所以a+a'=-1
而根据分组aa'的64项，恰好g的1次方到16次方各出现了4次（别忘了g的17次方等于1，可以将所有项都降到16次方以内）。
所以aa'=-4
根据韦达定理可知，a和a'就成了新方程x^2+x-4=0的两个根。
运用二次方程求根公式，显然a和a'都可以表示成二次根式的形式。
然后将a和a'再次分组，得到b和b'，以及c和c'
接下来再将b分成d和d'。
可知d和d'就是x^2-bx+c=0的两个根，又知：
由上面的一系列分组我们知道，a和a'可以表示为二次根式的形式：
而用相同的方法可知：b、c、d也都可以表示为二次根式嵌套的形式：
那么我们就得到了最关键的cos(2π/17)的表达式：
所以，任意给出一个单位长度，我们就能得到cos(2π/17)的长度，进而得到单位圆中2π/17的角度，那么正十七边形问题就迎刃而解了。
高斯不仅解决了正十七边形问题，还找到了能用尺规作图的正多边形需要满足的条件。
高斯完成了用数论方法解决几何问题的壮举，这种不同数学分支间的联系，往往具有重要价值。
高斯的确是一位思想深刻，出手不凡的天才，可即便强如高斯，也告诉了我们一个道理：惊人的成就绝不可能一蹴而就。
原点阅读入驻小红书啦！
每天更新科普小知识
↓ 识别二维码直达主页 ↓
点个关注哟！
欢迎加入清华原点阅读和小伙伴们微信读者群
请联系微信mashuo577044（添加时请注明来意）
