如果把解决问题看成是种一棵树，那么数学思维就是隐藏在地下的树根，数学思想、方法就是树干和树枝，而树上的叶片和花果就是新知识。没有思维之根的知识是死知识，光去采摘挂于树梢的花果的知识获取方式无异于往瓶中插花。我们带领学生学习数学，就是要帮助孩子在脑子里构建一片生机盎然的森林。学生学习新知的过程就是依解决问题为情境和驱动，以思维为根基，以思想方法为径道，催生出花叶果实的过程。可见，思维乃学习效果的根本，也是培养学习能力的根本。下面结合《找次品》一课为例来谈数学思维及培养。
一、明晰问题本质，把握思维脉络
（一）明晰问题本质
以数学的眼光观察世界，生活问题转化为数学问题，找次品即是：将一个数尽可能平均分成3份，选出其中最大的1份再分，直至得到1。站在教师角度，抽象的数学化思维可以帮助我们看清问题本质、把握方向、掌握方法；对于学生而言，形成数学思维的最好路径却不是教师把自己的感悟所知口传心授，思维经验和能力的获得靠学生亲临解决问题之境，开启思维，去尝试、探索、发现、总结、去猜想、去验证。一句话：不是从经验到经验的直接传递，而是学习者必须亲历从实践到体验再到经验的渐次攀援与成长。所以，这节课的教学设计方向就是如何把我们已经明白的认知转化成问题和活动，让学生能在活动中拾级而上，获得体验感悟，促其思维的自主生长。
（二）把握思维脉络
数学思想和数学方法一个是道一个是术，从战略谋划到战术实施，实现了思维在解决问题中的施展。思维的根基强大，思想方法纲举目张，所学知识方能根深叶茂。最优的找次品方案的思想就是：以天平为工具尽快地缩小范围，找出次品。方法就是：尽量平均分成3份。该让学生亲身体验的是思想和方法产生之缘由：为什么分3份而不是2份，或者更多的份数，为什么分成的3份要尽可能平均？我们可以从以上的思想和方法两个层面上去体验思维的互生互证的严谨之妙：思想引领着方法走向优化，从二分法到三分法能更快地缩小范围，而分更多的份数本质上仍属三分法，即天平上的两份，和天平外的一份。方法呼应着思想环绕回归，三份尽量平均是分成三份中次品在哪一份的不确定性在最不利原则下思想令方法作出“选择三份中最大的数继续分”的理性选择，如何保证三份中的任意一个数尽可能小，就尽量平均。
由上，进一步可见，解决问题是培养思维这棵大树的土壤，思维之根通过创生思想和方法作枝干，去构建和营养了叶和果的光泽和馨香。而让这棵树成活的是学生思维开启后的真体验。
二、设计体验活动，培养思维能力
以数学的思维分析世界，在解决问题中，思维的展开应解决问题的目标而形成思想作为方向，以数学方法作为体现数学思想实现目标的途径和手段。数学思想和方法作为思维的重要学科经验去培养需要借助一些具体的问题的解决去实现。所以，在设计体验活动，培养思维能力上，首要条件是接地气，要让学生充分进入解决问题的情景，明确问题实质，把握解决方向。教师为学而设置体验活动，学生在活动中领会思想，体验、探究、提炼方法，最终运用思想方法解决问题，获得新知，体验数学思考的魅力和学科价值。以下细述在解决问题全程中教学的设计如何去围绕思维体验活动的展开。
（一）阅读和理解
可以创设一个大情境，比如亚运会等，聚焦解决问题“81个球中有一个较轻的次品，借助天平至少几次可保证找出次品”为情境。想要把全体学生带入解决问题的全程而不轻易让其掉队，就必须要把阅读和理解这阶段的前戏做足、做充分了，调动和建立起学生解决问题的心向和方向，开启思维之门。
1.试一试。任意拿2个球找次品，掂一掂，引出天平作工具的必要性，及天平的特点：两边要放一样多的球。教师示范记录2（1，1）→1，1次。
2.猜一猜。解读“至少”“保证”的题意。至少即尽可能地少，保证则是不能凭运气好下结论，考虑进运气不好的情况仍然能够实现，即将最不利原则的数学思想带入作为思考的方向引领。感受运气好的话，1次就找出了，运气不好可能要40多次。要做到保证，数学上考虑问题就必须取运气最差的情况了。
3.想一想。如何尽可能少的次数保证找出次品？初步体会一个一个地称的方法太慢，天平上尽可能多地放球，一边放40个球，称一次就能知道次品在哪一边的40个内了。把“二分法”思维经验带到解决问题中。81（40，40，1）→……→1，？次。
4.转场深入。反馈到学生已经全然理解了题意才转入下个环节，用退的思想去找小的数据开始研究。
（二）分析与解答
1.在3个里找
（1）掌握分析推断方法。这里涉及思维展开小枝叉，以分类讨论的方法去推理判断：如果平衡，天平外那1个是次品；如果不平衡，天平上轻的那边1个是次品。
（2）记录思维展开过程。记录思维的方法越简洁有效越好，主要为后续记录大的数据作铺陈。在研究和比对各种记录方法后，我总结的记录方法是：3（1，1，1）→1；9（3，3，3）→3（1，1，1）→1。这样的记录与思维的展开一致，将内隐的思考过程简洁地外化出来，即：目标经历分、称、推、缩，如此重复执行找到1。
（3）比较体悟思维结果。2（1，1）→1，1次；3（1，1，1）→1，1次。为什么3个比2个多1个，但也只用称1次？让学生体悟到次品靠放天平上称出外，可以用推理的方法推断出天平外的，打破思维定势从二分法向三分法拓展。进而知道在2个里找到次品至少需称1次，而称1次最多可在3个里找到次品。为后面称2次最多可在9个里找到次品的逆向思维预埋种子。
2.在8个里找
主要让学生体验次品的范围怎样缩小得最快？为什么分3份而不是2份或更多份，为什么分成的3份要尽可能平均？
课堂的时间有限，在3个里找次品，作为思维之基，下一个目标，在8个里找还是9个里找成为要选择的内容，还是觉得书的上例2在8个里找更好，对思维在解决问题的思考冲突中形成比起9的人为刻意选择、顺利进展上更利于思维的自然、全面发展。（1）思路呈现。3个里为找次品中思维的推理和表征提供了初步的方法“分、称、推、缩”。在8个里找次品，在实践中将方法“分、称、推、缩”四步在探索活动中循环往复，特别是对“缩”有所体悟，思维在比较中得以进化。
收集了所有学生可能出现的思维路径，我们理一理考虑如何反馈学生想法的顺序。
（2）比较优化。解决问题要求的“至少+保证”下的次数最少即为最优方案。从结果可以看出，思路四只需2次，最少，其它的需要3次。思路四是如何做到至少和保证的？引导学生从思维的过程中去比较为什么会次数最少：体会每次称了后能将次品范围缩小到尽可能小。用红色标记出第一次称后将次品范围缩小到几个球中。从第一步的过程比较看出思路四称一次后将次品范围缩小在3个之中，其它的思路都大于这个数。
思维引领大问题：由上面各种思路的比较，用天平找出次品的最快方法是将要测的球怎样分？以此问题去引导和试探学生思维是否经历实践，经过比较，充分体验和感悟，能自主提炼方法。如果有，则让他们举一举其它的例子如9个，来说明想法。如果没有，或者感悟面不广，则分小步去进一步发问引导思维感悟：
关键问题一：思路四和思路一比，说说为什么分三份比分两份要找得快？举例说说（二分法到三分法的思维突破）
关键问题二：既然分三份比分两份缩小范围快，那分四份、和八份不是缩小范围更快吗，为什么并没有？（归结：分多份的实际上是分成了三份，天平上两份，和天平外合起来一份。思路五同思路四，思路六同思维三）
关键问题三：思路二、三、四都分三份，而只有思路四将次品范围缩小得最快。在怎样分成三份上你有什么想法和建议。（分成三份，由于次品在哪一份里不确定，在最不利原则下需选三份中最大的数继续分。所以，三份尽可能平均是思想和方法综合作出的选择。）
此环节是思维之根在解决问题的土壤中伸展，生发出思想与方法配合解决问题，在教师创设的活动中思维得以感悟和成长。思维不是老师直接教给，而是引领孩子自己感悟，让思维历经碰撞、引领、质疑、辩论，取得真经。
（3）获得方法。分尽可能平均的三份缩小范围，找到次品。
3.循理而建
新知的获得与建构以充分理解题意作为基础，以思维以正确方向和路径展开，以最终获得新知作为结果。做到了来龙去脉清晰，纲举目张有序，这样像用由根及叶种活一棵树一样去构建知识，学生的学习体验是通畅的，思维是自然生长的。学生体验了，学懂了，学通了，输出就畅通了。9个、10个，……81个。就可以上升思维层次，实现更抽象一点的形式化操作层面了。由此实现了具体生活问题数学化转化，走向一般化。
（1）顺向而建。给出一个数，用三分法顺利缩小范围，找出1。
（2）逆向而拓。称1次最多在几个里找出次品？称2次、3次、……
逆向回溯，让思维得到反向拉伸。在举例中，形成表格，在表格中提炼思维之花（这朵花在这节课里不一定非得开出来，避免教学成了拔苗拉拽，可据学情定花期，只要根基在，慢慢开也不妨。）。
（三）回顾与反思
反思在孩子思维的成长中起非常重要的作用，边学边思，让学有所效，学后反思，让学有所升。回顾整个解决问题的过程，站在彼岸看来时路，品味思维路径的成长，由点连线，全线贯通，应用自如，顺向而缩，逆向而伸。总结经验，正是形成智慧之时。就像体操的最后一节整理运动不可省去。由此学生获得了在解决问题中脑筋拉伸，做了有负荷的思维体操后增益自身带来的快感。
在很长的时间里、多个场合、众多老师教学《找次品》这样的课，在设计如何带领学生更优地在“学会知识”与“掌握方法”这架天平上作平衡时，我觉得把目光放在“培养思维”这个天平外去思考，以思维培养带动方法展开到知识获取应该会是更快地实现孩子数学素养提升之道。以此为价值导向，瑞安小数在2023年7月，五年级下册期末考试选择题的第9题，题中没有出现至少、保证的词，但却用一般性的语言蕴含了这层意思，来考查学生是否真正学懂思想方法而非被出的常规题算对答案所掩盖，来诊断老师是否抓住《找次品》问题的教学要旨而非仅仅追求会列式解题。以素养为导向，来一点点通过素养评价促进教师更新课堂，让素养课堂落地。
综上，思维在解决问题中成长，解决问题教学的设计立意应着眼思维培养。在教师的设计引领下，学生在一次次的解决问题中形成了思维的可资积累的一贯性经验还有另辟蹊径的生长性经验，同时也获取了新知，获得了数学思想方法的文化润泽，这样所构建的学科之林必将根深叶茂、花果飘香。
