高阶色散下的暗孤子

自20世纪90年代以来，四阶色散支持亮孤子的可能性已经被发现；然而，随着最近的实验验证，人们对这些高阶色散孤子的理论重新产生了兴趣。不过，存在高阶色散的暗孤子在很大程度上仍未被研究。

暗孤子在连续波背景上表现为暗强度的下降。与强度最小值相关的是一个相位变化π且相位中的这种“扭结”为暗孤子提供了额外的（拓扑）抗噪声鲁棒性。早期，V. Karpman的研究暗示了存在四阶色散的暗孤子的可能性且S. L. Palacios发现了存在高阶色散和五次非线性的暗孤子。

高阶色散存在下暗孤子的实验研究是一个重大挑战。最近，利用正常色散的自诱导调制不稳定性的方法允许在光纤激光器中产生暗孤子串，有证据表明在这些条件下暗孤子是普遍存在的。具有可编程色散的光纤激光器是产生高阶色散亮孤子的理想选择，A. B. Matsko等人在Kerr非线性微谐振器中也发现了类似的数值结果。令人鼓舞的是，P. Parra-Rivas等人在正常色散Kerr非线性微谐振器中也发现了暗孤子，这表明腔结构是使用高阶正常色散进行暗孤子实验的理想路径。为了解开高阶色散在暗孤子动力学中的作用，自然的起点是保守的情况（在没有腔增益和损失的情况下）。因此，研究人员考虑一个具有周期性边界条件但能量恒定的类腔结构。

高阶色散暗孤子理论的第一步是在纯四阶形式和同时存在二阶项和四阶项的情况下使用φ⁴ Klein-Gordon模型。在这些实场中所谓的扭结/反扭结解指出了这里所考虑的光学情况下复杂的暗孤子相互作用，研究人员使用二次和四次色散和克尔非线性的电场包络的广义非线性Schrödinger方程：

其中，ξ为传播距离，τ为脉冲帧内的延迟时间，γ为非线性系数，取为正。参数和分别表征了二阶色散强度和四阶色散强度，其中，v_g为群速度，ω为脉冲载频。以t₀=1 ps，t=τ/t₀为单位对延迟时间进行归一化，以特征传播长度z₀=1 mm， z=ξ/z₀为单位对传播长度进行归一化。最后，重新提升。将自己限制为正四次色散，因此，固定=1 ps⁴，与A. Blanco-Redondo的实验一致，导致β₄=+1，得到的归一化模型为：

其中，归一化二次色散参数由给出。相关光学设置的典型实验值包括非线性系数γ=4.07 W^-1mm^-1，时间单位为1 ps，传播单位为1 mm。对于连续波和数值研究，这相当于功率为1.2 W，脉冲长度为40 ps，传播距离为100 mm。

在保守情况下，可以寻找平稳解Ψ(t,z)=ψ(t)exp(iμz)，μ是表征平稳解的非线性相移，实振幅ψ(t)的如下公式：

研究人员研究了式(3)的暗孤子解，它连接到连续波背景ψ_cw=±√μ(这意味着μ>0)。在表征方程(3)解的四维相空间中，这些暗孤子解可以将正的连续波解连接回自身（同斜解，对于偶数孤子），或者连接不同符号的连续波解（异斜解，对于奇数孤子）。应用周期边界条件，所以只求同斜解。用互补功率来描述这些特性，对于长度为2L的腔，互补功率为。

作为一个起点，研究人员分析了连续波的性质，在此基础上建立了暗孤子。考虑ψ=[ψ₀+ϵexp(λt)]形式的纯实数扰动，将此扰动代入式(3)并只保留ϵ中的线性项，得到λ的如下方程：

设ψ₀=ψ_cw，求解λ，发现当时，当β₂<0，λ有4个虚值，当β₂>0，λ有4个实值。前者意味着连续波是一个中心，不可能接近连续波，因此不可能存在连接到连续波的暗孤子。相反，当λ是纯实数时，连续波是鞍点，有更熟悉的暗孤子状态。如果，λ形成一个复四重线，因此连续波是一个鞍形螺旋：任何接近连续波的方法都伴随着振荡。这种行为类似于观察到的亮孤子(β₄<0)。连续波解对二维参数平面的依赖关系，如图1(a)所示；μ对β₂(实曲线)的二次依赖性与模型的标度特性一致。

正如将看到的，零解的性质也可以以定态的形式发挥作用。将ψ₀=0代入式(4)，则特征值λ为虚对和实对，使得零解为鞍中心，从而实现了与零附近振荡的联系。这种行为不同于β₄<0的情况，在这种情况下，零解要么渐近，要么根本不接近。

虽然使用式(4)对特征值的分析表明，可以期望同斜(多)暗孤子解，但这些解的稳定性的必要条件是连续波是调制稳定的。为此，通过更普遍地扰动连续波背景来检验线性波的增长：

其中，ϵ_i表示小的扰动。将式(5)代入式(2)，求解线性ϵ_i，可以看出扰动特征值Ω与扰动波数k之间的关系：

所有传播结果（包括图1中的连续波动力学）都通过将四阶分步数值格式应用于方程(2)，∆t=9.8×10^-3，∆z=7.6×10^-6得到。通过评估哈密顿量H=∫(1/24)|d²ψ/dt²|²+(β₂/2)|dψ/dt|²+(1/2)|ψ|⁴dt并验证该量在传播过程中守恒来监测方案的鲁棒性。通过使用共轭梯度法数值求解式(3)得到平稳解。线性分析指出了暗孤子解中可能存在的新特征。图2显示了纯四次孤子的两个极端。可以找到分离良好的暗孤子[图2(a)]，与在二次型情况下观察到的相似，但具有接近连续波的特征阻尼振荡，与实际情况的早期结果一致。图2(b)显示了四阶色散带来的一种新的可能性，即连续波与原点的鞍形中心之间的连接。这种联系在二次保守情况下是不可能的，但在存在增益和损失的情况下也观察到类似的行为。

作为系统参数的函数更系统地检查可能的解，例如，图3(a)中的β₂，发现存在许多可能的族，每个族在暗孤子对之间具有特征间距。间隔最近的对，称之为“族0”[图3(b)和(c)]，将连续波连接到原点，并在小于β₂=-2.5处从连续波解分叉。相比之下，所有其他间距越来越大的暗孤子对族[分别为图3(e)和图3(i)中的“族1”和“族2”]在进入负β₂时产生额外的波动[图3(d)和3(h)]，在那里它们（在鞍中心分岔中）与大的侧振荡相关的上分支碰撞[图3(f)和3(j)]。这些上分支解在主对的两侧都有额外的暗孤子对，即它们是一个三对族，随着β₂的增加，这一点变得越来越明显[图3(g)和3(k)]。这些结果与早期的实场案例分析一致，振荡尾使得暗孤子在孤立的距离上变得静止。

通过扰动平稳解和数值计算线性化特征值来检验图3所示解的稳定性。线性稳定性分析结果与实际情况一致。研究发现，当β₂≥0时，家族0和家族2是稳定的[图3(c)]，因此稳定性随间距而变化。这在拓扑学上是合理的，因为相关有效情况中潜在的交替极小值和最大值（例如，在实际情况下，参见2021年 G. A. Tsolias等人发表的Kink-antikink interaction forces and bound states in a ϕ 4 model with quadratic and quartic dispersion中的图5）。由于连续波背景的调制不稳定性，所有的解在β₂<0时都是不稳定的。连续光谱，如典型的非线性薛定谔暗孤子，跨越整个虚轴。稳定族解和不稳定族解分别在图3中用实线和虚线表示。

图4显示了β₂=0时可能的动力学例子。图4(a)和图4(b)分别证实了族1的不稳定性和族2的稳定性。虽然所有的上分支解都是不稳定的，但不稳定动力学表现出长寿命的非平稳孤子动力学，正如将看到的，这似乎在暗孤子产生过程中起着重要作用。图4(c)所示的不稳定动力学就是一个例子，紧密结合的外对在被内对的不稳定产物干扰之前表现出鲁棒性。如图2(d)所示，关于零解的族0到多个振荡的推广似乎是鲁棒的，如图4(d)所示，但线性稳定性分析显示出弱振荡不稳定性。

现在考虑在更一般的初始条件下暗孤子的出现。在保守系统中，原型情况可以说是一个具有强度缺口的连续波状态，要么是高斯形式，要么是双曲切线形式（域壁状）。注意，这样的初始条件很难在空腔结构中实现；然而，动力学仍具有指导意义且与适当设计色散的系统直接相关，包括光子晶体波导、玻色-爱因斯坦凝聚物和水波。

在高斯初始条件下，研究人员考虑了三种不同情况下的动力学：纯四次情况[β₂=0，图5(a)]，正β₂[β₂=0.5，图5(b)]和负β₂[β₂=-0.2，图5(c)]。在纯四阶色散情况下，暗孤子对出现，并表现出碰撞和分离的周期性循环，然后通过振荡尾逃脱局部势，而对于正β₂，暗孤子相互排斥（这是纯正阶色散情况下唯一可能的动力学）。在负β₂情况下，暗孤子对的结合更加紧密，但处于调制不稳定的连续波背景中。一个类似于畴壁的初始条件会产生多个暗孤子对，甚至看起来是一个行进的暗孤子复合体[图5(d)]，类似于之前观察到的不稳定动力学。可以看到，在不稳定性（孤子或连续波）存在的情况下，孤子出现了，尽管它们可能是移动的孤子。这些运动孤子的性质是一个值得进一步研究的有趣方向，特别是考虑到四阶色散存在时孤子的非伽利略不变性。

总之，这项研究揭示了二阶色散和四阶色散存在下的一些暗孤子族及其性质。该结果与具有适当色散分布的保守系统直接相关，并为考虑光学腔中存在增益和损耗的暗孤子的下一步奠定了基础。暗孤子对的复杂分岔图需要进一步研究，包括在接近调制不稳定状态时检查波形的性质。这里提出的生成结果表明了可以进一步探索的大量现象，包括孤子复合体和灰孤子。模拟表明，即使对于简单的不稳定状态，也有可能在动力学中观察到长期存在的相互作用结构。研究发现，在正β₄和负β₂的存在下没有稳定的定态，这就提出了在这个参数空间区域中的场的性质问题。