文章链接：
https://doi.org/10.1111/poms.13920
问题描述
资源池化是一种用于对冲不确定性的实用策略，它在运营管理中有着广泛的应用，如库存池化、流程灵活性和产品替代等。我们研究了一个两阶段的资源池问题，该问题可以通过改变其中的参数，使其包含库存池化、流程灵活性和产品替代在内的问题应用，具有一定的通用性。
在该两阶段的资源池问题中，有一个中心决策者和多种资源。在第一阶段，决策者决定总预算内资源的能力水平。需求实现后，决策者在第二阶段做出履约决策。本文采用目标鲁棒框架，其的目标不是最小化总缺货成本，而是评估未满足需求超过给定阈值的风险。
模型构建
考虑一个有I种资源和J位顾客的资源池系统每位顾客的需求可以通过使用一种或是多种类型的资源来满足。决策者面临一个两阶段决策问题。在第一阶段，决策者需要决定每种资源i的库存水平xi，其订单成本为ci。令X=（x1,x2,...,xI）,C=(c1,c2,...cI),则第一阶段的总成本为C'X。每位顾客的随机需求表示为dj，其在订单下达后才会实现。令d=（d1，d2，...,dJ）
我们定义sj为顾客j的已满足需求，定义S（x,d）为可行集，有如下表达：
其中，A和B是给定的矩阵，z是辅助变量。A和B的不同，可以将该问题转化为不同的问题，如库存池化、流程灵活性和产品替代等。
此外，对于每一个顾客j，我们定义一个阈值τj。我们所有未被满足的需求都应该小于这个τj。在给定阈值τ的情况下，违背的阈值为d-s-τ，从而，决策者的目的就是最小化这样一个违背阈值，有如下的表达：
其中，g是一个凸的线性分段增函数，有如下的表达形式：
利用目标鲁棒框架对问题进行建模，我们可以得到问题有如下的表达：
其中，比例系数k描述了模型的脆弱性，最小化k可以降低期望值的阈值违背。
求解过程
我们给出该问题的模糊集，定义如下：
对于一般形式的线性分段凸函数g，我们可以写出原问题的对偶问题形式，有如下表达：
本文在数值研究部分，采取了g=max{vj}的函数形式，并且以process flexibility为问题背景进行数值实验，从而，问题的第二阶段可以被建模为：
根据此，文章分别采用了四种优化方法，分别为DM（确定性模型）、RO、DRO和RS框架进行优化，部分复现代码如下：
模型部分求解结果：
在这里可以看到目标函数的值有正有负（我们期望的值总是负的）。生成1000次实例运算后，可以大概得出target violation为正的概率在25%左右，并且随着预算集C和阈值τ的值增高而降低。
百度网盘链接（代码更新中）：
https://pan.baidu.com/s/1TIVE12Zs9OMwUvFjD5Xd7w
提取码：u128
识别二维码关注我们
文章推荐人 | 马迪宁
校对 | 罗陈斌
排版 | 马迪宁
