01研究背景
02研究问题
当涉及多个决策阶段时，卖方的最优定价策略应该是什么？
03研究模型
将产品i在阶段t的价格和成本分别表示为pi(t)和ci(t)；
客户对产品的效用，即，ui(t)=μi(t)+εi(t)，t=1,2,...,T, i∈NtU{0};
卖方在阶段t提供的价格向量：p(t)=(0,p1(t),...,pnt(t))；
卖方出价的历史记录：hpt:=(p(1),...p(t-1))；
客户做出的相应选择：hat:=(a1,...,at-1)；
客户选择的产品at∈NtU{0}。
将卖方的价格策略定义为一组映射：π={ft,t=1,...,T}，其中ft是一组(hp(t)和ha(t))对价格向量p(t)的映射。
理性消费者在做出购买决策时，会考虑到自己的未来效用。为了反映这种行为，定义了每个阶段的折现系数γ∈[0,1]。
Bellman Equation：
目标是找到卖方的最优定价策略，把这个问题称为多阶段价格优化问题。
2.1两阶段问题
考虑两阶段价格优化问题，这是在T=2。N={0,1，…，n}和M={0，1，…，m}分别为卖方在第一阶段和第二阶段提供的产品。卖方的决策包括初始价格向量和第二阶段的价格向量：p(1)=(0,p1(1),...,pn(1))，
pi(2)=f2(p(1),i)=(0,pi1(2),...,pim(2))。
客户预期的未来效用可以通过以下方式获得：
因此，客户选择i的整体效用为：
根据MNL模型，第一阶段顾客对产品i∈NU{0}的选择概率为：
在阶段2中，卖方提供向量pi(2)=f2(p(1),i)，客户在阶段2中选择j∈MU{0}的条件概率为：
她先选i后选j的总概率是
因此，我们可以针对决策变量制定两阶段格式化，称为[2SPO]，
记F⊆N为阶段1价格有限的产品集合。设Fi⊆M表示客户在第一阶段的选择为产品i∈N∪{0}时，第二阶段的产品集合。下面的命题中，概述了式(1)给出的对应问题[2SPO]的最优解的必要条件。
这个命题是早期文献中获得的“常数调整加价”属性的拓展应用。结果表明，在每个阶段，Fi*(F*,resp.)中不同产品的调整加价在最优价格下必须相等，而其余产品M \ (Fi*N\F*, resp.)是不可用的(无限价格)。
2.1.1完全短视的顾客
首先考虑顾客完全短视的情况，即γ = 0。客户在这两个阶段的决策是相互独立的。
该定理说明，当顾客完全短视时，各阶段提供的最优价格之间是独立的，两阶段价格优化分解为各阶段独立的价格优化问题。
2.1.2前瞻性的顾客
0＜γ≤1
命题4.1中导出的“常数调整加价”属性来开发一种有效的方法来解决问题。
给定产品i∈F，θi表示常数调整后的加价
对于Fi中的所有产品，价格可以用θi的函数表示。根据 式(3)，可整理成：
式(7)说明了最优时和必须满足的关系，并明确地对产品集Fi施加了限制。也就是说，Fi不能任意选择。现在正式引入{Fi}ni=1的可行性定义。
定义4.1（可行性）。对于所有i∈N，Fi⊆M可行，如果满足(i)式(7)允许关于唯一变量θi的一个解，且当μi'(pi1)为常数(线性效用)时；(ii)当效用函数μ i为非线性时，由Eq.(7)导出和之间存在一一对应关系。
注意，Fi⊆M不可行是指Fi包含一些不应提供的第二阶段产品。
这个命题说明了通过求解一系列非线性方程可以找到相应的定价解。θ和θ0之间存在一对一的对应关系，表示为 = F(θ0)，
经过一系列式子的变化后，式(11)可以进一步写成只有一个变量θ0，高维价格优化问题可以简化为一个可以有效解决的单维搜索问题。
该定理证明了在一些温和条件下，多阶段问题具有唯一解。
04研究结论
本文解决了需要以前的购买来解锁未来的价格情境下的多阶段价格优化问题，证明了在最优定价策略下，高加价的产品总是会带来未来产品的更大折扣。这些属性是直观的，也符合实际。客户具有前瞻性的情况下，证明了在一些温和条件下，多阶段问题具有唯一最优解。本文还表明，与完全短视的客户相比，前瞻性的客户愿意在初始阶段支付更多的钱，以换取后续阶段的更多折扣。
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文章推荐人 | 陈丹颖
笔记审核人 | 王图南
校对 | 罗陈斌
排版 | 张梦麒
