成果快照｜具有代金券销售的报童模型：分布鲁棒方法

代金券在刺激短期消费需求方面发挥着关键作用，已成为零售商在竞争激烈的零售业中普遍使用的有效促销工具。消费者在购买某一商品时，可凭代金券将购买价格降至与票面价值相等或享受一定优惠。在真实的操作中，餐饮、电子商务、外卖平台普遍采用代金券营销手段，特别是月饼、粽子、大闸蟹等具有特色和季节性的产品，代金券的使用更是普遍。此类产品需求不确定性高，往往作为节日礼物提前销售。以月饼行业为例来说明这类代金券的操作流程，目前中秋节期间，顾客先购买月饼代金券再兑换月饼的做法已经成为最主流的消费方式之一，具体来说，中秋节前，月饼零售商先向消费者、公司、和各种实体以低于优惠券面值的价格出售代金券。当产品在市场推出时，持有礼券的消费者或实体可在一定期限内到指定地点兑换相应产品，如在有效期内未兑换，礼券将失效。

此外，为刺激顾客购买，大多数零售商往往采取代金券回购政策。因为有些客户购买了代金券后可能不会再兑换产品，特别是作为赠品收到代金券的客户往往没有实际的兑换需求，在这种情况下，如果零售商没有提供回购代金券的渠道，一个理性的消费者总是会使用优惠券来兑换产品，而不是让优惠券过期。这意味着零售商可能需要生产更多产品，满足赎回和直接需求。但是，零售商采用代金券回购策略，可以实现自身和消费者的双赢，在适当的代金券回购价格下，没有实际赎回需求的理性消费者会更愿意将代金券返还以获得一定的收益，而不是将代金券赎回一个对自己没有用处的产品，同时，Gao和Chen（2015）的研究表明，零售商不仅可以通过发放代金券在一定程度上扩大潜在客户群，还可以通过回购政策来降低不必要的生产和分销成本，在此基础上，考虑了直接需求和产品赎回率均为随机变量，且零售商仅知道部分分销信息的情况，即：当零售商的销售额为零时，分布的均值和标准差。直接需求和赎回率的不确定性也会对代金券促销策略的绩效产生重要影响。

1、零售商采用促销券回购的促销策略是否有利可图？

2、促销券回购率、促销券回购价格等因素如何影响零售商的订购与促销券发行决策及其利润？

3、与随机直接需求和随机赎回率的精确分布信息已知的情况相比，具有部分分布信息的代金券促销策略的性能如何？

考虑一个零售商在一个需求不确定的市场中销售“节日”产品。在节日之前，零售商在在线平台上以单位价格pt发行并销售该产品的代金券。消费者也可以在节日前不久以单位价格pm直接购买该产品，将这种直接需求表示为Dm。在实践中，因为消费者只有在能够从中获益时才愿意购买代金券，令pm>pt。当产品在市场上可买到时，代金券可以用于以单价pm购买产品或者由零售商以单价b赎回。零售商以单位产品成本cm购买产品。假设优惠券的成本为0，由于许多流行品牌的代金券在短时间内售出，因此假设零售商发行的所有代金券qt都将售罄，但购买了代金券的消费者将兑换产品的比率是随机的，由r表示，称为兑换率。此外，对于剩余的1-r个消费者，他们购买了优惠券而没有赎回产品，零售商最终将以回购价格b回购他们的优惠券。为了使利润最大化，零售商需要共同确定产品订购量qm和凭证发行量qt以满足市场需求。假设qm > qt > 0，并且零售商将优先考虑持有代金券的消费者，剩余的库存将用于满足直接需求。这是因为持有代金券的消费者相当于提前购买产品，而不是直接渠道客户。图1显示了代金券促销博弈模型的事件序列。

已知分布的基本分析

在这种情况下，零售商将提前发放代金券，并说明代金券回购策略。具体来说，假设零售商面临单期报童问题，并且知道随机直接需求和随机赎回率的确切分布信息。因此，推导出零售商的期望利润函数与缺货惩罚成本如下：

分布未知的最差情况分析

假设零售商只知道随机直接需求Dm和随机赎回率r的均值和方差，而没有精确的分布信息，因此零售商无法直接计算其期望利润值，从而难以找到最优决策，为了克服这一困难，假设零售商在最坏情况下追求稳健决策，并研究零售商在最大-最小利润模型下的最佳订购和代金券数量决策。具体来说，通过优化最优产品订购量qm和凭证发放量qt来最大化最坏情况下的利润。

因此，我们将零售商的利润函数转换为以下最坏情况下的鲁棒利润最大化目标问题：

基于引理2，可以将零售商的最坏情况鲁棒利润最大化问题改写为：

基准模型：无代金券促销

引入无代金券促销模型作为基准，在无代金券促销场景下，给出零售商最坏情况下的鲁棒利润最大化问题如下：

同样，根据Gallego和Moon（1993），可以将零售商的最坏情况鲁棒利润最大化问题改写为：

命题1

若

则随着凭证回购价格b的增加，最优订货量qm、最优凭证发行量qt和最优期望利润π减小；否则，凭证回购价格与最优结果无关。

命题1表明，当条件成立时，代金券促销策略成功实施。否则，零售商发放的最优代金券数量为0。从命题1中可以看到，提高代金券回购价格会导致零售商的回购成本增加，因此零售商倾向于减少代金券发放量，对于随机兑换率，如果qt减小，那么兑换代金券的消费者数量也会减少，最终导致最优订购量下降，最后，代金券回购价格对零售商的最优期望利润有负的影响，这是因为随着回购价格的增加，零售商倾向于订购更少的产品和发放更少的代金券，这意味着零售商可能会尽可能地降低回购价格，这将不利于持有凭证并准备将其退还的消费者。

命题2

1、当

如果b < cm，则最优凭证发行量qt和最优期望利润π都随凭证赎回率μr的均值单调递减;否则，最优凭证发行量qt和最优期望利润π都随凭证赎回率μr的均值单调递增。

2、当

代金券赎回率的均值与最优代金券发行量和最优期望利润无关。

命题2表明，较低的凭证回购价格不一定有利于零售商。当凭证回购价格相对较低时（即，b<cm< span="">），随着代金券赎回率均值的增大，零售商将减少最优代金券发放量，零售商的期望利润将降低，这是因为较低的代金券回购价格将导致更多的顾客赎回代金券，而提高代金券兑换率的均值也意味着更多的顾客会兑换代金券，这对零售商来说并不有利。在这种情况下，实际上，零售商不希望消费者赎回代金券，因此零售商会倾向于减少代金券发放量，但是当代金券回购价格较高时，（即，b>cm），更多的顾客选择兑换代金券将对零售商有利。随着代金券兑换率的均值增加，零售商将倾向于发行更多的代金券，从而获得更多的利润。

命题3

若

则随着代金券赎回率标准差σr的增大，最优代金券发行量qt和最优期望利润π均减小;否则，代金券赎回率标准差与最优代金券发行量和最优期望利润无关。

命题3表明，标准差反映了兑换率的波动程度，当代金券兑换率的波动逐渐加大时，出于谨慎考虑，零售商会减少代金券发行量，以尽量减少波动加大的不利影响。一般来说，兑换率的波动加大会降低零售商的最佳预期利润。因此，零售商需要采取一些措施来保持代金券兑换率在一个相对稳定的状态，比如进行详细的市场调查，建立良好的品牌信誉，稳定市场回购价格。

命题4

1、如果

则最优订货量qm和最优期望利润π都随直接需求μm的均值单调增加;否则，直接需求μm的均值与最优订货量qm和最优期望利润π无关。

2、直接需求μm的平均值与最优凭证发行量qt无关。

命题4表明，直接需求的均值在一定程度上代表了以正常销售价格直接购买产品的消费者数量，μm越大，以正常销售价格直接购买产品的消费者越多，相应地，零售商将增加产品订购量以满足更大的直接购买消费者需求，另外，由于我们模型中的直接购买需求不影响消费者的代金券购买和兑换行为，因此改变μm不会影响代金券的发行数量。

命题5

1、当

最优订货量qm和最优出券量qt均随直接需求量标准差σm的增大而增大;否则，直接需求量标准差与最优订货量和最优出券量无关。

2、如果

则最优期望利润π随着直接需求的标准差σm而减小；否则，直接需求的标准差与最优期望利润无关。

命题5表明，标准差σm反映了直接需求的波动程度，当直接需求的波动逐渐增大时，零售商会增加产品订货量，以科普需求不确定性增加所带来的额外需求。同时，随着直接需求的波动性逐渐增大，零售商通过直接渠道获得利润的不确定性增加，反而会增加凭证发放量来稳定订货量。

命题6

1、当

(i) 若ρ∈(-1，ρ1)，最优订货量qm随ρ增大，否则，最优订货量qm随ρ减小。

(ii) 若ρ∈(-1，ρ0)，则最优凭证发行量qt随ρ增大；否则，最优凭证发行量qt随ρ减小。

(iii) 最优期望利润π 随着ρ的增大而增大。

2、当

相关系数ρ与最优结果无关。其中，

命题6给出了直接需求和赎回率两个随机变量的相关系数ρ与最优解的关系（即产品订购量、凭证发放量和零售商的最优期望利润），最优产品订购量和最优凭证发放量在ρ1和ρ0处达到最大值，随着相关系数的增大，最优产品订购量和最优凭证发放量均先增大后减小，而最优期望利润始终随相关系数的增大而增大。

命题7

若

则随着折扣率α的增加，最优订货量qm、最优凭证发放量qt和最优期望利润π单调增加；否则，折扣率与最优结果无关。

由命题7可知，折扣率越大，代金券销售渠道的边际利润越高，零售商越倾向于增加最优代金券发放量;为了满足更多的代金券赎回需求，零售商也会相应地增加最优订货量，最终零售商的整体利润也会增加，因此，即使优惠券折扣率很高，零售商也可以从优惠券促销策略中获利，这是因为优惠券仍然是打折的，并且与产品的正常价格相比可以回购。

1、提高凭证回购价格会降低零售商的订货量、凭证发放量和最优期望利润，也就是说，较低的凭证回购价格对零售商来说更有利可图。

2、凭证发放量随消费者直接需求的波动程度单调增加，随赎回率的波动程度单调减小，而零售商的最优利润随直接需求和赎回率的波动程度单调减小。

3、代金券赎回率均值对代金券发放量和零售商最优利润的影响受代金券回购价格和产品成本的综合影响，相关系数对最优解的影响取决于相关系数的正负性。

4、零售商通过获得准确的分销信息比只知道部分分销信息可以获得更多的利润，而且随着直接渠道的标准差变大，零售商在两种分销信息下的利润差异也变大，与代金券赎回率相比，零售商更愿意为获得直接需求上的准确分销信息而支付额外的费用。