【文章链接】
https://doi.org/10.1287/opre.2017.1619
研究背景
受到一些大型服务站和电话客服中心的启发，数据显示，与延迟时间相关的信息对电话客户有明显的影响：例如，延迟公告会增加放弃（挂断）电话的可能性。这样的现象可以用来支持队列的长度和等待延时的控制。通常情况下，我们的目标是实现质量和效率的平衡运行（QED），即客户不会为空闲服务器等待太久，服务器也不会为有需要的客户等待太久；然而，在实践中许多呼叫中心仅仅是效率驱动型（ED），即人员配备不足，从而导致严重的队列延误和随之而来的放弃。文章介绍了两种延迟公告：第一种是在必须等待才能获得服务的顾客到达时发布；在这种情况下，会公布估计的等待时间，其后果是一些客户会选择立即放弃，而另一些客户会继续排队。如果顾客在耐心耗尽之前得到服务，他们不会放弃，但一旦等待时间达到公布的延迟时间，他们就会变得恼怒。这种行为在统计上表现为耐心时间分布的hazard rate在延迟公告时突然增加。第二类延迟公告是在等待过程中发布的，例如，当顾客的等待时间达到一分钟时。在这种情况下，广播会提供不同程度的信息。这些公告都有一个共同的特点，即与耐心时间分布的危险率的非平滑（突然）变化有关。它发生在某个 “影响点 ”上，这个 “影响点 ”要么是宣布的等待时间（第一类），要么是选择的宣布时间（第二类）。
研究问题
1）如何构建一个能够准确描述具有延迟公告的排队系统的模型，该模型要考虑到客户耐心时间分布可能出现的非平滑变化。
2）如何利用该模型来分析延迟公告对系统性能的影响，包括对排队长度和客户等待时间等性能指标的影响。
3）如何根据模型来优化服务中心的人员配置（staffing）以及发布延迟公告的时间（announcement - timing），以在满足服务水平约束（如客户放弃比例、等待时间的尾概率等）的前提下，最小化服务成本。
模型构建
GI/M/s+GI队列 heavy-traffic（过载）
考虑一系列具有客户放弃的多服务器排队系统，索引为n∈N。客户按照计数过程⋀n
到达，到达时间间隔无批量到达情况。服务时间相互独立且均服从指数分布，速率为μ,客户耐心时间相互独立且具有一般分布Fn(.)。
顾客的耐心分布（GI）满足当n趋近于正无穷时，有
其中F( )代表耐心时间分布，式子右边f( )表示为F的密度函数且为连续函数，ω指顾客进入服务前的等待时间，因而顾客耐心分布随n变化的灵活性可以刻画流体等待时间前后的微妙变化，我们将其称为精细结构（fine structure），与客户对延迟公告的突然反应有关。
其次引入了虚拟等待时间V(t):
即如果一位具有无限耐心的虚拟顾客在第n个系统中的t时刻到达，他在接受服务之前需要等待的时间。当 t 恰好是实际顾客的到达时间时，t时的虚拟等待时间被视为虚拟顾客紧随实际顾客之后到达的时间。由于不存在多个顾客同时到达的情况，定义为
文章细化近似的优势在于能够捕捉非平滑的耐心时间分布的精确结构。与 Mandelbaum 和 Zeltyn的研究一样，文章应用其细化近似方法来解决 ED+QED 机制下呼叫中心的两个人员配置问题。第一个问题源于到达时的延迟公告，即尽量减少人员配置水平，以实现服务水平约束。第二种情况是在等待过程中发布公告，它有一个额外的公告时间选择，同时具有最小化人员配置的相同目标。这两种应用中的耐心时间分布都不够平滑，无法使用现有的结果，但具有（4）式的特征。
假设延迟公告为 τ，则到达的客户选择放弃的概率为 B(τ)。这里假定 B( )是一个分布函数。没有放弃的顾客（概率为 Bc (τ)）会加入排队队伍，他们的耐心等待时间也会受到已公布信息 τ 的影响。
延迟公告影响假设顾客耐心水平服从以下条件分布：
这里 h0 和 h1 是两个参数，分别反映了τ公布前后的放弃行为。h0 和 h1 假设为常数，与 τ 无关。
唯一的均衡延迟公告为：
优化问题表述为：
文章提出一种渐近最优的人员配置规则来求解上述优化问题，并利用数值实验证明其适用性和准确性，它基于稳态下的近似值。
安排人员数量：
结论
1) 模型准确性验证：通过与已有模型对比以及数值实验，验证了所提出的扩散近似模型在处理具有延迟公告的排队系统时的准确性，能够更好地捕捉客户耐心时间分布的非平滑变化对系统性能的影响。
2) 人员配置和公告时间优化：得到了在延迟公告存在的情况下，人员配置和公告时间的渐近最优解。结果表明，在满足服务水平约束的前提下，合理的延迟公告可以减少人员配置成本（公告可以使人员配置水平至少减少）。
3) 提出了一种新的耐心时间分布缩放框架，允许其出现非平滑变化，基于虚拟等待时间建立了新的建模方法，能够进行扩散分析并构建原始随机系统性能的准确近似。
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文章推荐人｜王子川
笔记审核人｜马迪宁
校对｜罗陈斌
排版｜王夷行
