最早的数学证明就是下面这个。
关于对顶角的。
α和β是一对对顶角，怎么证明对顶角相等呢？
泰勒斯的方法是把直线旋转180度。
这样会发现：
对顶角重合在一起，于是它们相等。
如今看起来挺简单的，
但细想来，这是很了不起的事。
直觉上：
对顶角看起来就相等。
一条通过圆心的直径就是能把圆分成两半。
三角形里边相等，对应的角也相等。
……
然而，看起来是这么回事——
这不是数学。
数学的语言是逻辑，必须用逻辑语言去证明它。
不然，你就是看事物，找规律，做总结。
这样的方法叫归纳。
归纳法要想完全正确，必须穷举。
而我们不可能穷举所有的对顶角。
所以，必须设置任意的对顶角，一步步证明它们相等。
泰勒斯生于公元前624年。
年轻时漫游四方，到过巴比伦和埃及。
那时候巴比伦和埃及都已经有了发达的数学。
泰勒斯从巴比伦、埃及学到了很多数学知识，然后带着这些知识回到家乡。
有个故事说：
他从巴比伦学到观星知识。
回到古希腊后，靠天文观测，
预测了橄榄的丰收，从而赚了大钱。
然而，
人家只是为了证明知识能带来利润，
本身对利润并不感兴趣——
一生痴迷于数学证明。
他在数学上引入了命题证明思想——
这是数学的一次飞跃。
所谓的命题证明思想，就是用逻辑推理来确定数学命题的真实性。
比如，“同位角相等”这是一个命题。
接下来不能想当然。
要用逻辑来推理确定这个命题是真还是假。
这就是我们初中生都很熟悉的：
👉假设——根据条件提出一个假设——这就是命题。
👉演绎——利用已知条件，从假设出发，逐步推导——证明步骤。
这步通常最难，我们需要有思路，需要用已知条件去试。
👉结论——基于演绎过程，得出最终的结论。
为什么说泰勒斯是西方哲学和科学始祖，就在这里。
假设—推理—结论，求真的经典步骤。
最初的数学证明，基本都建立在此之上。
就比如欧氏几何。
初中一开始接触的几何，就是欧式几何。
我们会学到平行公设——
也叫平行公理。
以这条公理为前提，开启了推论。
👉两直线平行，同位角相等；
👉两直线平行，同旁内角互补；
👉两直线平行，内错角相等；
再接着反过来：
👉同位角相等，两直线平行；
👉同旁内角互补，两直线平行；
👉内错角相等，两直线平行。
是不是很奇妙？
一步步推理，后面的概念建立在前面的概念之上。
这就是数学为什么是一个整体。
学数学一定要重视整体性。
再接着就是三角形。
有了平行的一系列推论，
把这些应用到三角形中，
于是三角形的好多性质都可以被发现。
……
就这样慢慢的，欧式几何的大厦就建立起来了。
我们一直到高中毕业，都在欧式几何里转悠。
等到大学会学其他几何，到时候会更有意思。
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