是的，今天要讲的这道题，长得非常像高考数学问题，但是用高考数学方法却做不出来，题目来自于昨天晚上新领军学生的提问，据说是猿辅导那边的新领军模拟考试题。
相比于匈牙利的钓鱼竞赛题，猿辅导的新领军题目就显得有手就行了，做起来毫无压力，题目也比较正常，适合拿来训练。
这道题很适合备战CMC或者新领军的学生练手，因为类似想法的问题，在今年15届CMC决赛中刚刚考过一次！
问题
设是定义在上且恒正的函数，证明：可以选取有限个使得区间互不相交，并且.
直观感受一下：这个题给人一种莫名其妙的感觉，首先就很奇怪，不知为何能把与放到一起去定义区间，看不出什么几何意义，其次是要证的东西，这个很奇怪，不知道来头，最后一点就是怎么选，似乎也没有好方法。
再来分析，这种有限个究竟是怎么找出来的，凭空直接构造显然不可行，因为什么性质都没有，既然要找这些，我们考虑所有对应的区间，看有什么性质：容易看出这些区间的长度是，并且它们覆盖了区间，那就可以用有限覆盖定理，以此给出有限个去覆盖。
且不说后面怎么办，起码我们现在得到了一些区间，并且“覆盖”表明这些区间的长度之和还比较大，稍加改造或许可以完成证明
解析
因为取值恒正，所以
根据有限覆盖定理，存在其中有限个区间覆盖，设为
这些区间互相可能有交集，也可能某个区间是其他一些区间合起来的子集，下面做些改进
如果区间可以被剩下个区间的并集覆盖，则将扔掉，反之则保留，再看区间，如果它可以被剩下的或者个区间的并集覆盖，则将扔掉，反之则保留，以此类推下去，逐一检查这个区间，则有限次操作后，我们不妨设最终保留下来的区间是
那么这些区间一定满足：任何一个区间都不能被其余个区间的并集覆盖，并且它们的并集仍然覆盖了
我们将这些区间按照左端点的大小关系递增排列，不妨设
方便起见记
其中是单调递增的，显然严格单调递增，否则不妨是，则不论与的大小关系如何，和中都一定有某一个是另外一个的子集，矛盾
如果存在使得，则，我们考虑，根据递增性应有，再来看，因为不能被和覆盖，所以，但是这样子就被覆盖了，矛盾
因此互不相交，互不相交，注意的并集覆盖了，考虑区间长度可知
于是和，不妨设前者成立，则相应的对应的区间是两两不交的，并且函数值求和大于，即为所求
后记
本题说明，在应用有限覆盖定理时，通常我们可以将得到的区间进行优化，也即剔除多余的区间，或者将多个连起来的区间拼起来变成一个大的区间（这个例子可以参考15届数学类CMC高年级那个虚假的实变本质同济高数的问题），这样优化后的区间，其虽然仍可能有重合的部分，但是已经“几乎不重合”了，交集不会太多，可以控制，因而性质比较好，方便使用。
这道题是不是长得很像高考题？题面从头到尾所有的表述都是完全初等的，看起来就像是一道普通的高一上数学期末考试中的“函数”问题，考察必修一课本上的基础知识。但是这题拿去给高一学生做，恐怕是做不出来的，而且应该绕不开有限覆盖定理，高考数学范围内无法解决。
昨天竞赛班有人指出本题可以用实变函数里面的vitali覆盖定理秒杀，并将其他某位大佬的解答手抄了一遍搬运到了群里，可惜证明是错的，似乎并没有版本的定理（也许是某个加强版本？至少原始表述不是这样的）
事实证明这位学员自己并没有看过vitali覆盖定理的内容，也没有阅读过这个证明，只是无脑搬运了过来，对于其中的细节或者正确性都一无所知，面对其他学生的提问与质疑也无法自圆其说。
这个故事告诉我们不要当名词党，想走捷径不成反倒自己露了馅；低观点下的高等数学，用同济高数方法解决问题才是王道。 感兴趣的读者可以思考一下右边的常数1/4是否是最佳的？可否构造一个函数作为反例来说明其最佳性。
觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，就来报名我们竞赛班学习吧。
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作者：柯西永远爱你
