今天的题目是竞赛班群里一位喜欢钓鱼的新领军学生，在前几天提问的，题源最初是匈牙利著名的钓鱼竞赛。这是一道数列题，跟新高考19题比较像，颇有难度
问题
设，数列定义为
假设单调递减趋于零，证明：有界当且仅当收敛.
先来分析一下，这题看似是两个数列，实际上我们可以很轻松的消元变成一个数列，也即
条件表明是单调递增的，并且还是“上凸”的（更强的：相邻项差值趋于零），同时非负，这些都有着很直观的几何意义，要证明的是收敛当且仅当
收敛
其实这个当且仅当里面有一边是很好做的，如果收敛也即单调递增趋于，利用单调性可以直接把的分母扔了，变成
这就是严谨的，因为求和对象是非负的（当然也确实需要这个条件，否则不能这么做）
再看另外一边，可就比较啰嗦了，现在知道趋于正无穷，怎么说明
也趋于正无穷呢？
一个自然的想法是Abel变换，形式上有（我们记）
其中最后一步是经典结论：非负数列的前项和趋于无穷则
很可惜，这个过程中有些细节讲不清楚，而且似乎无法严格论证，只能是形式上这样子写出来......所以这个差点就能秒杀的方法恐怕是做不了的（当然如果你能完善其中的细节使得这个方法严谨，那太好了，这样我们就寻找到了了一个极其简单的解答，留作思考）
本题的关键是需要一个引理，这也是曾经的非数CMC决赛真题，这个引理单独拿出来证明是很简单的，有了这个引理去解决本题也不算困难，但是在没有这个引理的情况下直接解决原题，难度就会骤增！！！
后面我们会给出其他几个解法，但是我主要想讲的是方法一
解析
设，数列定义为
假设单调递减趋于零，证明：有界当且仅当收敛.
方法一
根据条件可知单调递减趋于零，相应的非负且严格单调递增，并且是“上凸”的数列，所以的收敛性和有界性是等价的
代入可得
如果有界，设单调递增趋于，则当时总有，所以
因为求和对象是恒正的，所以可以任意换序，故上述操作是严谨的，这就证明了收敛
当然这一步你也可以用以下经典结论来说明：
设单调递减趋于零，则收敛等价于收敛.
结合以下熟知结论以及Abel变换，你可以说明上述两个级数不仅同敛散性，而且级数和基本上是相等的（因为我没检查，可能会差个首项，我懒得去调首项或者求和下标使其相等了，自己调一下）
设单调，级数收敛，则趋于零.
现在看另外一边，采用反证法，我们假设趋于正无穷并且收敛，来推矛盾
这需要一个关键引理，也是第十届非数CMC决赛的真题
引理
设级数收敛，正数列单调递增趋于正无穷，则
由Abel变换可知
注意趋于零，趋于正无穷，所以上面前两项都趋于零，只需要关注第三项，设的上界为
对任意，存在，任意有，于是
这就证明了引理，现在回到原题
反证法表明收敛，正数列单调递增趋于正无穷，根据引理就有
代入条件并有Abel变换可知
所以，也即存在使得时候恒有，此时有
是收敛的，再根据高考不等式可知
最后一步利用了条件，矛盾（不妨设恒成立，否则一旦某个，则根据单调性后面所有的都是零，那么后面所有的都将不变，最终为常数，自然不可能趋于正无穷了）
于是结论得证
可见，这一边的证明关键在于说明的下极限不是零，一旦有了这一点，那么充分大时总成立，然后再用高考不等式随便一放就出来了，其实并不需要说明的极限为
但是想要说明下极限不是零可并不容易，设想没有这个引理，分析表明只需要说明下极限非零，那你凭借反证法提供的趋于正无穷并且收敛，有没有办法自然而直接的证出来下极限非零？好像不行。
方法二
这个方法来自于竞赛班学员，查阅了相关的论文之后整理的解答
很明显不如方法一那样子简单而直接，这个方法就显得很莫名其妙了，当然考虑问题的角度不一样，读者可以自行对比学习
方法三
这个方法同样来自于竞赛班学员，据说是在网上看到的其他的方法，搬运整理了以下
这个方法我没有细看，给人的感觉就是后面①②部分的放缩非常奇怪，很混乱，毫无章法可言，也无法提取出来什么值得学习的通用的模型或套路，总之这个方法我不推荐
最好的办法，必然是我最开始讲的方法一，很值得学习！
高考题
在文章的最后，送给大家一道新高考19题，建议做一做。
做不出来也不要气馁，把这道好题分享给身边的朋友们、发送至各大数学群中，或者问问你的老师/同学，大家一起思考，齐心协力，问题也就解决了，而且这个过程会让你受益匪浅。
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作者：柯西永远爱你
