今天来看一道积分不等式，看起来比较奇怪也比较新颖，来自竞赛班学员提问
问题
设，定义在上的非负连续函数满足，求最小的常数使得恒成立.
先分析一下，取可知，如果在某点处取到最大值，那么代入有，然后积分得到
其中等号在时候取到，换句话说就是可以逼近取等
再来看取等条件，令则需要检查，注意所以这就是绝对值不等式，因此我们有足够的理由相信答案就是，并且在最大值为的时候前面的论述就是严格证明
解析
以下过程建议画图理解，论证是严谨的
结合前面的分析，现在只需要说明
与前面一样，我们希望找一个使得，这是两个指数函数拼起来的图像，最大值为
但是这个不好找，我们换个角度考虑，首先不妨设不恒为零，于是有使得，那么
所以当充分大时，总有，对任意有
于是当较大时，换句话说可以被某个递减的指数函数控制住，这个指数函数可以由向右适当平移得到
显然有，于是可以被某个递增的指数函数控制住，这个指数函数可以由向右适当平移得到（或者不平移，也是一个控制函数）
现在我们取两个指数函数来控制，并且取“最佳的”（也可以取对数算最值来定义），换句话说存在非负实数使得
并且与，都有交点（连续保证了这一点能实现），也即存在使得
代入条件得
画图表明的交点纵坐标不超过，并且
现在两边积分就有，结论得证
后记
这个题目出自于匈牙利的一个竞赛，那个比赛一年一次，考试形式为开卷并且时间长达十天！考察范围包括所有高考数学与本科数学的知识，不局限于数分高代，并且题目难度很大，经常能在其中看到论文题，因此这是一个盛产钓鱼题的比赛。
如果你正在准备考研或者期末考试，你可以直接把这个比赛拉黑名单，再多看一眼就会爆炸。
如果你在准备清华新领军或者CMC，并且对自己的实力很有自信，那你可以从这个比赛中选一些比较正常的，考察高考数学与数分高代的问题做一做（比如今天的积分不等式），这其中还是有一些能做的并且质量不错还很新颖的题目。
而如果你是钓鱼爱好者，那么这个比赛真是太适合你了！！从中随便选一个题目，将其重排版为考研题或者期末考试题模式，放入一张试卷中，然后打上标题，题号，分值之后，就可以发到各种数学群里钓鱼了。
盛产钓鱼题的比赛还有一个“西蒙·马雷斯数学竞赛”，每年这个比赛的最后一题B4都是open problem，连命题组都没有答案，而且通常长得确实有点像考研题或者CMC题，适合用来钓大鱼。说不定哪位博士生本来毕业困难呢，无意之中把你给的用考研竞赛模板包装好的open problem当课后习题解决了，顺带就发一篇顶刊。到时候别说毕业了，将来直接去麻省理工做终身教授！
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作者：柯西永远爱你
