孤子的无限层次：Kerr非线性与偶阶色散的相互作用

孤子是非线性物理中最引人注目的现象之一，已在广泛的系统中被观察到。在光学领域，这些变换极限、保持形状的脉冲在从电信到频率梳产生和锁模激光器等众多应用的发展中发挥了至关重要的作用。传统上，这些波包的形成和传播依赖于自相位调制和负二阶色散之间的平衡，而更高的色散阶被视为一种麻烦，导致光纤和激光腔中的色散波发射或限制可实现的脉冲持续时间。当脉冲通过正非线性介质传播时，自相位调制会导致脉冲前缘产生新的低频，后缘产生新的高频。为了理解孤子，回想一下，在频率为ω₀时存在k阶的纯负色散β_k的情况下，接近ω₀的频率的群速度v_g倒数可以写成

这里，v_g0为ω₀处的群速度，k=2为二阶色散等。对于负二阶色散，实际上对于所有更高的，偶数阶类型的负色散，方程(1)表明群速度随频率单调增加。因此，前缘自相位调制产生的低频和后缘自相位调制产生的高频都向脉冲中心移动，导致孤子的形成。这一论点表明，在任何负偶阶色散存在的情况下，时间孤子都应该存在。事实上，最近的研究表明，光孤子可能产生于自相位调制和负四次色散之间的平衡。然而，更高、更均匀色散阶(k>4)的孤子的存在及其性质还有待研究。

数值求解

考虑光脉冲在具有克尔非线性和k阶色散的介质中的传播，其中，k是一个偶数。这种演化可以用改进的非线性薛定谔方程来描述

使用牛顿-共轭-梯度法解出方程(3)。求解方程(3)为每个色散阶提供单个解，但使用论证可以获得整个解族。因为方程(2)在变换下是不变的：

对于每个色散阶k，存在一个连续的纯高偶阶色散孤子族，每个都具有相同的脉冲形状，但具有不同的振幅和宽度，可以用非线性相移μ的值来参数化。

在半最大全宽τ=1 ps时，k=6、8、10和16具有相同脉冲持续时间的平稳解的时间和光谱强度曲线，如图1所示。注意到，与纯四次孤子类似，纯高阶偶阶色散孤子的时间形状在尾部表现出振荡，随着色散阶的增加，振荡变得更加突出，如图1(b)所示。这一结果可以通过对解的尾部的分析来理解。由于那里的强度很低，可以忽略方程(3)中的非线性项。然后，A_k可以写成k个指数项 e^λkT的线性组合，其中，λ_k是k个根

在纯高偶阶色散孤子(T<0)的前缘，只有实部为正的根具有非零系数，而反过来，在后缘中，只有实部为负的根有非零系数。人们会期望尾部被衰减速率最慢的指数项所支配。因此，尾部采取近似形式

式中，φ由峰值附近的非线性效应决定，其中，±号分别指前缘和尾缘。该结果表明，除了k=2的常规情况外，纯高偶阶色散孤子具有具有指数递减包络线的振荡尾。随着k的增加，振荡变得更密集；根据方程(6)，强度包络线在尾部连续节点之间的变化系数为e^{−2πtan(π/k)}，与图1(b)一致。

如图1(c)和1(d)所示，随着色散阶k增加，纯高偶阶色散孤子光谱的中心部分变得越来越平坦。为了理解这一点，回想一下一个函数的二阶导数对应于它的傅里叶变换的二阶矩。振荡增加的集合函数具有越来越低的二阶矩且相关的傅里叶变换越来越平坦。物理上，这可以从方程(1)中理解为频率ω₀附近的群速度。对于高色散阶k，群速度在ω₀附近保持近似恒定，然后，迅速变化。因此，在ω₀附近存在一个色散基本上无关的频率区间且在该频率区间内，谱强度不需要显着变化以平衡色散。

纯高偶阶色散孤子的一般性质

如上所述，纯高偶阶色散孤子的光谱平坦度随着色散阶的增加而增加。函数的平坦度或峰性通常用峰度来表示，但这种度量方法已被怀疑。相反，引入平坦度F，将其定义为脉冲能量在其谱范围内的分数。因为它是一个分数，所以F本质上是归一化的：对于矩形函数，它的最大值为F=1，对于所有其他函数，它的最大值为0<F<1。平坦度F是一个函数的内在性质，不依赖于它的参数。例如，对于所有高斯函数F=erf(√ln2)≈0.761，其中，erf(x)是误差函数，对于所有双曲正割的平方F=1/√2≈0.707。表1的第二列列出了F的值；它们单调增加，如图1(d)所示，量化了光谱平坦度的增加。

从数值解中可以提取出其他几个纯高偶阶色散孤子性质。首先，计算k=2到k=16时μ和γP₀的比值，其中，P₀为峰值功率。由于难以评估高阶导数，k>16的数值结果不可靠。k=2，μ=γP₀/ 2而k=4，μ= 0.62γP₀。如表1第3列所示，随着k的增加，比值μ/(γP₀)也增加，但似乎在接近0.7的值时达到饱和。这其中的一个含义是，在纯高、偶阶色散孤子峰附近，方程(3)的三个项具有相同的数量级。特别地，这意味着方程(3)中的第二项和第三项具有相同的数量级。

根据方程(4)的缩放参数并通过量纲分析，发现纯高偶阶色散孤子在第k阶色散下的能量-宽度标度关系：

表1显示，随k变化较大的系数只有M_k和N_k：对于较小的k，它们都是单位阶，但随着k的增加而迅速减小，对于k=16，它们远低于10⁻⁵。它们的比值近似为常数，这与图1(a)一致，反映了时间脉冲形状没有发生实质性变化。这意味着纯高偶阶色散孤子的能量和峰值都低于有利的能量标度关系所期望的值。

现在，讨论M_k和N_k随k急剧下降的含义。在前面注意到μ/(γP₀)保持阶单位的事实意味着在方程(3)中的纯高偶阶色散孤子峰值附近的第二项和第三项具有相同的数量级。因此，可以写成

使用方程(3)和(11)可以将A_k(T/τ)写成泰勒级数

实验装置

传统光波导的本征色散以二次贡献为主，而高阶色散的影响通常较弱。事实上，仅仅为了实现占主导地位的负四次色散，就需要一个复杂的结构。这极大地限制了在波导中观测纯高阶、偶阶色散孤子传播的可能性。为了克服这一限制，并实现产生这些孤子所需的主导负高阶色散，研究人员使用了被动锁模光纤激光器。实验中使用的激光器配置示意图，如图2所示。它集成了一个腔内可编程光谱整形器(Finisar WaveShaper)，用于调节净腔色散。所应用的相位掩模补偿了光纤组件的固有二阶、三阶和四阶色散，并提供了一个大的负的、高偶阶色散。所施加的相位分布可以写成

光谱和时间表征

纯六阶色散、八阶色散和十阶色散激光器输出脉冲的光谱、时间和相位分辨测量结果分别显示在图3的第一、第二和第三行中。图3(a)-3 (c)（左列）显示了三种不同色散阶的测量输出光谱（蓝色曲线）和相应的数值计算脉冲形状（红色虚线曲线）。测得的光谱-3 dB带宽分别为Δλ=3.9 nm，3.8 nm和3.8 nm，分别适用于六阶、八阶和十阶纯高偶阶色散孤子。在所有情况下，实验和数值计算的光谱吻合得很好。远离脉冲的光谱波动由脉冲整形器有限的光谱分辨率引起。对于快速变化的函数，它对相位轮廓进行欠采样，导致所应用的相位掩模中出现混叠，特别是对于远离ω₀频率的相位快速变化的最高色散阶。由于谱波动，因此，远离中心频率且比峰值低至少10 dB[图 3(c)]，它们不会显著影响脉冲动力学。

图3(d)-3 (f)中相应的测量谱图证实了这一断言，在所有三种情况下都显示出清晰的脉冲。在短波长处的垂直条纹对应于第一个边带。最后，六阶、八阶和十阶纯高偶阶色散孤子的时间强度和相位分布分别如图3(g)-(i)所示。得到的纯六阶、八阶和十阶孤子的脉冲持续时间分别为τ=1.68 ps、1.69 ps和1.77 ps。在所有情况下，测量的时间强度(蓝色曲线)与相应的数值解(红色虚线曲线)在类似下都很好地吻合。检索到的时间相位（橙色曲线）表明发射的脉冲有轻微的啁啾。这是因为实验装置是一个集总系统，其中所需的色散被施加在腔内的单点上，就在输出耦合器之前。注意，没有观察到时间剖面尾部的数值预测振荡[图1(b)]，因为预计这些振荡将出现在脉冲最大值以下约20 dB的地方，这在实验中低于背景。

对于所有情况，研究人员估计了实验平坦度参数F。图4中的红色圆圈给出了图1中不同均匀色散阶k的数值计算光谱的平坦度F。图3中光谱的F（蓝色菱形）的测量值与数值计算结果吻合较好，并证实光谱的平坦度随k单调增加。研究表明，平坦的光谱可以增强泵梳转换，减小频率梳的线对线功率变化。

 边带分析

为了确认空腔线性色散的性质，研究人员分析了发射脉冲的光谱边带的位置。这些色散波产生于孤子与孤子在腔内传播时发出的线性波之间的相长干涉。当β_sol−β_lin=2mπ/L，其中，m为正整数时，产生相长干涉。对于k阶色散，线性波满足β_lin=−|β_k|(ω−ω₀)^k/k!，而纯高偶阶色散孤子在其整个带宽上具有恒定色散β_sol=C_k|β_k|/τ^k，其中，C_k是依赖于色散阶的阶单位常数。因此，发现第m个光谱边带的光谱位置ω_m为

为了验证这一预测，研究人员测量了每个色散阶色散系数β_k的三个不同值的输出光谱，并测量了低频边带的光谱位置。这些测量的结果，如图5所示。在图5(a)-5 (c)中，显示了每个色散阶k的三个测量光谱。图5(a)显示了三种不同β₆值的六阶纯高偶阶色散孤子光谱。图5(b)和5(c)分别显示了八阶和十阶纯高偶阶色散孤子的相应结果。圆圈标记了低频边带的光谱位置。图5(d)-5(f)显示了9个纯高偶阶色散孤子光谱的这些测量位置的k次幂作为边带阶数的函数。在所有情况下，如预期的那样，间距遵循线性关系。图5(a)-(c)中所有光谱的预测和测量光谱间距汇总在表II中。注意，实验值与由式(15)计算出的相应期望值在4%以内一致并基于脉冲整形器施加的净腔色散。高频边带的结果同样接近期望值。由于采用高功率的数据集会放大噪声，因此，测量结果和预期结果之间的一致性非常显著，从而确认了腔色散的类型和幅度。

 能量宽度提升

最后，研究人员研究了纯高偶阶色散孤子的能量宽度提升关系。如第1节B中所讨论的，并遵循标度论证，纯高偶阶色散孤子的能量宽度标度关系与τ^−(k−1)成正比。通过实验测量了三种不同色散β值的输出脉冲能量作为脉冲持续时间的函数k，用于考虑每个色散阶。具体而言，调整激光腔内的泵浦功率，通过对光谱积分，扣除光谱边带中的能量部分后，测量输出脉冲能量。k=6、8和10时的这些测量结果，如图6所示。圆圈显示了每个色散阶k的三个不同色k散β值的测量脉冲能量与脉冲持续时间(τ)的关系。一旦考虑到输出耦合和脉冲整形器的插入损耗，所有结果都与式(7)非常吻合。这证实了这些纯高阶色散孤子遵循不同的能量宽度提升关系，可用于产生具有高能量的超短光脉冲。

在实验中发现了由自相位调制和高阶色散之间的平衡产生的整个光学孤子族。人们可以把传统的光学孤子看作是这类纯高偶阶色散孤子的最低阶成员。所有这些脉冲从根本上都是由类似的物理效应产生的：非线性在脉冲的前后边缘产生频率，这些频率在色散的作用下向脉冲中心偏移。这个研究结合了求解式(3)的数值结果和使用光纤激光器得到的实验结果。光纤激光器集成了一个光谱脉冲整形器，用于应用大的负纯高、均匀阶色散。计算结果与实验结果吻合得很好。

虽然实验方法不同于公式(2)所描述的保守系统，但它允许前所未有的色散控制水平，这是目前通过传统波导色散工程无法实现的。虽然展示了纯高偶阶色散孤子，色散只达到10阶，但这种方法只受到脉冲整形器规格的限制。这一限制可以通过使用具有更高光谱分辨率和带宽的设备来克服，从而能够产生高于10阶的纯高偶阶色散孤子。研究发现，实验装置提供了一个强大的工具，为广泛的光脉冲的产生和研究开辟了新的路线。

这里的分析提供的一个见解是对纯高偶阶色散孤子随着k阶的增加而进行的研究。纯四次孤子相对于传统孤子的一个关键优势是其标度关系E₄∝τ⁻³。尽管如式(7)所示，随着k的增加，比例变得越来越有利，但系数M_k下降得如此之快，这一事实导致人们停下来思考。虽然总有可能通过增加色散系数β_k的大小来增加能量，但这可能意味着存在一个最佳的、有限的k值来最大化脉冲能量。注意到，使用纯高偶阶色散孤子的另一个优点是它们的光谱变得越来越平坦。这可以用来产生锯齿状功率变化小的频率梳。除了实验提供的对孤子脉冲的直接定量见解外，该方法本身有望成为生成和研究超快脉冲的既定工具。这项研究有望刺激未来在物理、工程和应用数学等其他领域的研究和发现。