不务正业了好久，上次写高中数学的内容都不知道是何年何月了。昨天一个同学拉我给他家孩子分析下高二数学月考试卷，看完之后我觉得这些问题还是比较共性的，值得写一篇文章。我们是北师大版教材，所以考的内容是空间向量、解析几何和排列组合。这份卷子其实也出的是中规中矩，但是孩子考的不是特别理想，于是他家长我同学就让我对着错题看一看，找找问题、提提建议，他好去和孩子、任课老师沟通。因为是周中，我没有和孩子沟通，完全是根据试卷直接分析，所以会有不恰当的地方。第一个错点，是选成偶数选项，4036、4038，这种的就是属于对抛物线结构性质掌握不够才会出现的问题，因为2p=6，所以最短弦长6只有一条直线可以，其它的根据对称性则是偶数个，1+偶数必然是奇数；第二个错点说起来可笑，就是从7到2024，一共是2024-7+1=2018个数，但有孩子忘记+1，结果就会选A。我同学这个孩子就是选了A，因为是选择题，看不到过程，我只能推测就是在这里出错了，这种情况普遍属于做题太着急，考虑问题不够细致导致的。其实还有一个错点，就是以为p=6，然后计算错误，这就是基本概念有问题，不过选项设置中没有用。在高中考试里，尤其是第4题这个位置，出这种错误很不应该，也很可惜，高中数学现在要求的就是会做的一个都不能错，错一题拉开的就不是一个小身位。这道题属于是中等难度偏上一点的题目，只要是构造关于a、b、c的方程，然后转化成a、b即可。正确答案是A，孩子选成了B，其实和A是互为倒数的结果。结合孩子的情况，我估摸着还是最后计算的问题，算反了。这其实也算是一个比较共性的问题了——圆锥曲线的题目计算量比较大，如果训练的量上不去，方法、思路没有问题，不代表你就能算对。这种题目就不是你看了觉得会做，然后就可以跳过去的题了，适当的刻意练习，提升计算能力是必须的。第8题孩子也做错了，这道题是一个小压轴，难度是有一些的。其实吧，如果你的空间感足够，在高一时立体几何学的足够到位，有些选项是根本不必这么麻烦的。
比如选项B，看起来过程很长，其实大概画下图就觉得很简单啊：D1P这条直线其实就是在三角形D1AC中运动啊，与A1C1所成的角不就是与AC所成的角？那可不就是在π/3和π/2之间吗？选项C不太好算，但是选项D倒是比较好判断，我先构造一个过点F且与面B1CD1平行的平面，则这个平面与底面ABCD的交线就是点P的运动轨迹。比较好做的就是如下图面FHG，H、G都是棱的中点。到这里交线就比较好找了，其实是高一学过的做正方体截面，算是一个基本功。点P显然就在线段OQ上运动，O、Q分别是棱的中点，那么PF的最小值也很好计算了——线段FQ的长度。计算起来也比较简单，构造一个直角三角形利用勾股定理计算出来就是根号6.为了让大家看清楚思路，我做的图比较多，其实这个思路很快，并不是非得像答案那样去使用空间向量，只要空间感足够强，或者说在高一把立体几何的空间关系搞得比较熟悉，这个很好做。但是这个孩子没有做出来，我估计就是用了空间向量，计算量比较大，算错了或者没有算完，也说明对于立体几何的常规方法与思路不熟悉。这个其实是有隐患的，毕竟空间几何是几何问题，就算是用空间向量，也需要有基本的认知，而且空间向量做题未必是最简单的做法，有时候出题老师就是从这个角度来设置陷阱，你用空间向量做起来很繁琐，但是有综合几何方法就好做。第十题是多选题，这孩子只选了一个，而且一分没有，其实非常不应该。说明她这个题目完全不掌握，但是这个题是出的很好的一道题目，考察学生对解析几何的灵活应用。
就像答案一样，只要分类讨论，这个方程对应的图像是非常好画的，只要画出图像，那么所有的选项都是非常好判断的，数形结合即可。就算是时间来不及，为了那保底分选一个，也不至于选个错的，只能说明孩子在解析几何方面存着缺陷，对于解析几何掌握的不够到位。其实到这里简单回顾下就会发现，他错的都不是那种特别难的题目，问题都是出在基础上。一个是他所在的学校是我们本地最好的高中，老师不怎么管基础，对于孩子们抠的不是很紧，讲的也比较快，讲难题比较多，导致孩子们基础比较薄弱；另一个是这孩子可能低估了圆锥曲线和立体几何空间向量的难度，动笔少，看的多，一到实践的时候就露怯了。
再次验证了我的看法，这孩子基础不够扎实，起码对于立体几何中的空间关系——平行垂直不够敏感，如果她敏感一点，A是可以无脑选的。再者就是这道题肯定她是算了的，但是我估计是时间有限，她没有算完，因为B出来了之后，C就是送的。当然还有一种可能，就是她这个题就是蒙的，那就......联想到他后面解答题做了一半没往下写，那搞不好这个题还真是蒙了个答案。对于这种多选题，有一种不是方法的方法，比如B，就假设它是对的，然后去算C，如果C算出来是对的，那么大概率这两个选项都对......把单选多选合在一起，这孩子已经扣了25分了吧，这基本上就注定总分不会太高了。所以选择题和填空题的解题速度和正确率对于高中生数学拿高分就非常重要。你正确率高，拿到了足够的分数，后面你做题就有底气，你做的快，后面留出的思考时间也就多，更容易拿到分数。12题仍然是基础问题，轨迹方程求出来之后，没有考虑取值范围的限制，这种错误非常低级了。说实话看到这里，我都怀疑孩子学校的老师到底是个什么水平，这种基础性的错误错这么多，要么是孩子听课、练习做的不到位，要么老师平时基本不强调。这道题也不止上图这一种做法，但是孩子反正是没算对，算了个12种，说实话，这是为啥错误就不好猜了。计数问题主要是个思路，思路不对就很容易出错，他不仅仅是在这里出错了，在下面解答题中也出错了。这道题孩子做对了第一问，第二空没有做出来，这个也算是可以接受吧。到这里，选择、填空都扣了32分了，一般不存在选填做的不好，解答能做好的，到这里就可以预见分数不会特别高了。因为我不能把他的答题卡放上来，只能大概描述一下，就是忽略情况导致重复算了两次。这一类错误是在排列组合里比较隐蔽的错误，孩子思维还是挺好的，想要找简单做法，但是忽略了隐藏的重复情况。这也是一些思维比较活跃孩子的通病吧，想要简便、快速、跳跃，但是有些时候把握不住。这道题目其实不是很难，孩子也把过程做出来了，也没有什么错误，但是他没有写完。![]()
看上去是这道解答题的问题，其实是整个试卷前面花的时间太多了，也就是计算和基本功的问题。19题其实和18题一样，没有时间做了，只做了第一问。为什么能这样判断，因为根据他前面的情况，第2问是完全可以拿下的。如果他前面能够算的快一些，把时间空出来，后面起码能够再多拿七到十分；如果他前面准确度好一些。细节考虑到位，那么还能多拿十分到十五分；那么这种情况看上去全是偶然，但实际上是必然，体现就是孩子的成绩波动性比较大，出到手里会给你个好的分数，出不到手里，手风不顺就给你一个惊喜。这不是他一个人的问题，其实是一批重点高中学生的问题，基础不牢，只想做难题，学校老师也不怎么抓基础，整天讲难题，平时看起来没啥问题，一旦遇到类似22年那种大计算量试卷，或者难题多一点，心理不顺，就抓瞎了。这也是我写这篇文章的目的所在，希望高中生们还是要脚踏实地，一步一步的做，不要忽视通过中等题目来掌握基础概念，基础方法和思路，适当的刷题还是有必要的，不要觉得自己能做，有思路，就不动笔。否则话就会出现像本文这种情况了，用一句马虎来敷衍塞责就说不过去的。![]()
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