说明：本文仅对高中物理阶段涉及的玻尔氢原子模型进行讨论。
图 1 氢原子能级示意图
本文的讨论源于一个常见且似乎已盖棺定论的问题：
一群氢原子处于量子数为n的激发态时，可能辐射出的光谱线条数是多少？
几乎所有的参考资料，给出的解答是：任选量子数不大于n的2个不等能级，当电子从两者中的高能级跃迁至低能级时，可以发出一种谱线。求解总谱线数属于数学中的“组合”问题，于是总谱线数为
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以上解法引起了笔者的思考：一种谱线，只能对应唯一的一组高低能级之间跃迁吗？有没有可能出现n2跃迁到n1和n4跃迁到n3所发出的光谱线是一样的？进一步分析，若要实现上述情况，n2能级的能量与n1能级的能量之差应等于n4能级的能量与n3能级的能量之差，即
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其中E1为基态能量。约去E1，可得
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为进一步求解符合上式的量子数，设n1、 n2、 n3、 n4的最小公倍数为k，以k2遍乘上式各项，可得
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设
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则有
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利用平方差公式展开，可得
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对上式进行分析：因为abcd都是正整数，又有(d+c)+(d-c)=2d，(b+a)+(b-a)=2b，因此d+c，d-c，b+a，b-a四项只能同时为奇数或者只能同时为偶数。或者说，正整数λ应至少有2种因数分解方式，且这两种分解方式为全部分解为2个奇数之积或2个偶数之积。
接下来给出几组可行解，以偶数对为例，4×6=2×12=24，于是以下数据满足条件：
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abcd的最小公倍数为35，根据（5）式，可求得一组量子数为：
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此处n3>n4，n1>n2，这表示由n3能级向n4能级跃迁，由n1能级向n2能级跃迁。
验算如下：
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即从35能级跃迁至7能级时发出的光频率与从7能级跃迁至5能级时发出的光频率相等。因此一种谱线，并非只能对应唯一的一组高低能级之间跃迁。于是，一群氢原子处于量子数为n的激发态时，可能辐射出的光谱线条数是多少？这个问题的答案等于n(n-1)/2，便并非严谨了。
【写在最后】
再次说明，本文的模型仅用于讨论高中范围内的玻尔氢原子模型。作者数论水平有限，仅给出了可行解的个例，希望有能力的读者指导给出通解，感激不尽。另外，作者对于高中内容里的近代物理部分研习不精，文中表述错误、不严谨之处，欢迎批评指正，一并感谢！
