3.11均匀带电圆环在空间中产生的电势

文化 2024-11-27 22:59 吉林

在“3.4均匀带电圆环及形状延伸”中给出了经典积分方法求解带电圆环在空间中产生的电势，过程如下：

在柱坐标系下电荷元与点P的距离为

$R=\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos \left( \theta -\theta \prime \right) +z^2}$ 电荷元产生的电势为

对电荷元构成的圆环积分，得到

这里的 $F\left( \phi |k^2 \right) =\int_0^{\phi}{\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin ^2\theta}}}$ 是第一类椭圆积分，注意到被积函数的周期是pi，而上式积分宽度也恰好是pi，于是就可以将积分简化为。

用到了椭圆积分。

在“3.9拉普拉斯方程的解”中给出了空间电势的微分方程解法，我们可以从拉普拉斯方程来计算圆环电荷在空间中的电势分布，并得出一些恒等式。

圆环模型是轴对称的，在柱坐标下，拉普拉斯方程的解有三种，需要根据具体条件来使用，首先对拉普拉斯方程分类变量

因为是轴对称的，电势与φ无关，分离变量 $\phi \left( \rho ,z \right) =R\left( \rho \right) Z\left( z \right)$ ，得到

$\frac{1}{\rho R}\frac{d}{d\rho}\left( \rho \frac{dR}{d\rho} \right) +\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2}=0$ 可分离为

我们先在 $\rho =\rho _0$ 处做空间分离，因为这是源的位置，拉普拉斯方程不包含源，由模型的特性，在z=±∞时电势为零，可以考虑 $\lambda =\mu ^2>0$ ，那么

可解得

其中I与K是虚宗量贝塞尔函数，并且关于z对称，有D=0，可知 $\rho <\rho _0$ 时，B=0， $\rho >\rho _0$ 时，A=0，由于模型并没有对μ有限制，说明μ是连续的，那么

两个区域的连接条件

代入得到

因为

$\delta \left( z \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ikz}dk}=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}{\cos \left( kz \right) dk}$ 那么

$\left[ B\left( \mu \right) K_0\prime\left( \mu \rho \right) -A\left( \mu \right) I_0\prime\left( \mu \rho \right) \right] \mu =-\frac{q}{2\pi ^2\rho _0\varepsilon _0}$ 解得

其中使用了恒等式

$I_0\left( \mu \rho _0 \right) K_0^\prime\left( \mu \rho _0 \right) -K_0\left( \mu \rho _0 \right) I_0^\prime\left( \mu \rho _0 \right) =\frac{1}{\mu \rho _0}$ 它可以在Table of Integrals,Series and Products Eighth Edition的Page936找到。

那么空间中的电势就是

并且当ρ=ρ₀，z=0时，有

$\phi \left( \rho _0,0 \right) =\frac{q}{2\pi ^2\varepsilon _0}\int_0^{\infty}{K_0\left( \mu \rho _0 \right) I_0\left( \mu \rho _0 \right) d\mu}\rightarrow \infty$ 也就是在圆环上的电势为无穷大。

令 $\rho =0$ ，有

$\phi =\frac{q}{2\pi ^2\varepsilon _0}\int_0^{\infty}{K_0\left( \mu \rho _0 \right) \cos \left( \mu z \right) d\mu}$ 是圆环在轴上的电势 $\phi =\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{q}{\sqrt{{\rho _0}^2+z^2}}$ ，可看作是虚宗量贝塞尔函数的傅里叶变换，是个冷门的东西：

$A\left( \mu \right) =\frac{q}{4\pi \varepsilon _0}\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}{\frac{\cos \left( \mu z \right)}{\sqrt{{\rho _0}^2+z^2}}dz}=\frac{q}{2\pi ^2\varepsilon _0}K_0\left( \mu \rho _0 \right)$ 或者恒等式：

$\frac{q}{2\pi ^2\varepsilon _0}\int_0^{\infty}{K_0\left( \mu \rho _0 \right) \cos \left( \mu z \right) d\mu}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{q}{\sqrt{{\rho _0}^2+z^2}}$

如果在柱坐标下，将空间分离在z=0处，则电势关于z=0对称，考虑 $\lambda =-\mu ^2<0$

解得

$\begin{cases} R\left( \rho \right) =A\left( \mu \right) J_0\left( \mu \rho \right) +B\left( \mu \right) Y_9\left( \mu \rho \right)\\ Z\left( z \right) =Ce^{-\mu z}+De^{\mu z}\\ \end{cases}$ 在z>0时，有D=0，B=0：

$\begin{cases} R\left( \rho \right) =A\left( \mu \right) J_0\left( \mu \rho \right)\\ Z\left( z \right) =Ce^{-\mu z}\\ \end{cases}$ 在z<0时，有C=0，B=0：

$\begin{cases} R\left( \rho \right) =A\left( \mu \right) J_0\left( \mu \rho \right)\\ Z\left( z \right) =De^{\mu z}\\ \end{cases}$ 因为边界条件没有对μ有限制，于是

连接条件是

代入得到

即

$\int_0^{\infty}{A\left( \mu \right) J_0\left( \mu \rho \right) \mu d\mu}=\frac{q}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\delta \left( \rho -\rho _0 \right)}{\rho}$ 相当于是贝塞尔-傅里叶级数展开的系数，注意到

$\int_0^{\infty}{xJ_0\left( ax \right) J_0\left( bx \right) dx}=\frac{\delta \left( a-b \right)}{a}$ 那么可知

$A\left( \mu \right) =\frac{q}{4\pi \varepsilon _0}J_0\left( \mu \rho _0 \right)$ 于是

当ρ=0时， $\phi =\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{q}{\sqrt{{\rho _0}^2+z^2}}$ ，即

${\color[RGB]{240, 0, 0} \frac{q}{4\pi \varepsilon _0}\int_0^{\infty}{J_0\left( \mu \rho _0 \right) e^{-\mu \left| z \right|}d\mu}}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{q}{\sqrt{{\rho _0}^2+z^2}}$ 这个可以看成是贝塞尔函数的拉普拉斯变换了，也是个很冷门的东西。

在轴对称球坐标下，拉普拉斯方程的解是

$\phi =\sum_{l=0}^{\infty}{\left( A_lr^l+\frac{B_l}{r^{l+1}} \right) P_l\left( \cos \theta \right)}$ 边界条件和连接是

以r=r₀为界，可得

由连接条件在r=r₀处，有

得到

第二个条件相当于是傅里叶-勒让德级数展开：

得到

即（这里还要知道勒让德函数的值）

联立两者：

得到

然后把AB带进去吧！太丑陋了！这怎么就没柱坐标的干净呢！很好，这个算没算错我也不知道，不想重算，我对这个结果保持怀疑：

不过用勒让德函数给出的是多极矩，可以在“3.10静电场的多极展开”中了解。

解出来这么多东西，它们都是相同的，甚至可以得到很多恒等式，从椭圆积分到贝塞尔函数和虚宗量贝塞尔函数以及勒让德函数，下面写出来这些东西：

四种圆环电荷在空间中的电势的表达式，竟然只有第三种是最简洁的，还可以有第五种形式形式，就是在球坐标系下以θ=π/2为分界面，留个坑吧，对勒让德函数求导还需要递推公式，比较麻烦，有兴趣可以搞一搞哈！

甚至还可以弄出几个恒等式：

还能继续搞，挖坑吧！

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