圆柱壳电势与∫ln(1-2a·cosθ+a²)dθ (0,π)

文化 2024-11-28 16:03 吉林

上一篇“针对ln(1-2a*cosθ+a^2)从0到π的积分的解法”给了7种解法，不过内容都太过数学，这篇就从物理出发吧！从物理角度给出该积分的第8种解法，这也是一个具有物理意义的积分。

考虑一个半径r0的均匀带电圆柱壳模型，电荷密度是σ，计算空间中电势，由高斯定理 $\sigma l\cdot 2\pi r_0=\varepsilon _0E\cdot 2\pi rl$ ，可以直接给出空间中的电场分布

$E=\left\{ \begin{array}{c} 0 , r<r_0\\ \frac{\sigma}{\varepsilon _0r}\,\,, r>r_0\\ \end{array} \right.$ 即可对电场积分得到电势，注意到在r趋于无穷时不易规定电势为零，那么就规定圆柱轴上的电势是常数吧：

$\phi =-\int{E\cdot dr}=\left\{ \begin{array}{c} -\frac{\sigma}{\varepsilon _0}\ln r_0\,\,, r<r_0\\ -\frac{\sigma}{\varepsilon _0}\ln r\,\,, r>r_0\\ \end{array} \right.$

当 $r_0=1$ 时

$\phi =\left\{ \begin{array}{c} 0\,\,, r<1\\ -\frac{\sigma}{\varepsilon _0}\ln r\,\,, r>1\\ \end{array} \right.$ 我们很容易地得到了电势分布。

那如果使用电势的积分定义呢，取圆柱节目半径是1，直接把电势写出来：

$\phi =\frac{\sigma}{4\pi \varepsilon _0}\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{r^2+1-2r\cos \theta +z^2}}dz}d\theta}+\phi_0$ 因为需要重新规定电势，就有一个 $\phi_0$ 项，由上面的结果可知，在r=0时， $\phi=0$ ，那么有

$\phi =\frac{\sigma}{4\pi \varepsilon _0}\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}dz}d\theta}+\phi _0=0$ 即

$\phi _0=-\frac{\sigma}{4\pi \varepsilon _0}\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}dz}d\theta}$ 代入到电势公式中有

出现了一个极限，把这个极限算出来就变成了：

$\phi =-\frac{\sigma}{4\pi \varepsilon _0}\int_0^{2\pi}{\ln \left( r^2+1-2r\cos \theta \right) d\theta}$ 这就是空间中的电势分布，对比由电场积分得到的结果，可知 $\phi =-\frac{\sigma}{4\pi \varepsilon _0}\int_0^{2\pi}{\ln \left( 1-2r\cos \theta +r^2 \right) d\theta}=\left\{ \begin{array}{c} 0 ,\left| r \right|\le 1\\ -\frac{\sigma}{\varepsilon _0}\ln r,\left| r \right|>1\\ \end{array} \right.$ 即

${\color[RGB]{240, 0, 0} \int_0^{2\pi}{\ln \left( 1-2r\cos \theta +r^2 \right) d\theta}=\left\{ \begin{array}{c} 0 , \left| r \right|\le 1\\ 2\pi \ln r^2\,\,, \left| r \right|>1\\ \end{array} \right. }$ 或 ${\color[RGB]{240, 0, 0} \int_0^{\pi}{\ln \left( 1-2r\cos \theta +r^2 \right) d\theta}=\left\{ \begin{array}{c} 0 , \left| r \right|\le 1\\ \pi \ln r^2\,\,, \left| r \right|>1\\ \end{array} \right. }$ 问题解决！

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物理是世界上至高无上的艺术。在这里，我会谈论这个世界中最基本的艺术：一种叫做物理学的艺术。这里有宇宙诞生、基本粒子与宇宙结构、天体塌缩到黑洞、黑洞蒸发的故事。我会从大爆炸说起，直到现在，到……未知的未来……以及谈论科学与我们的生活。

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