1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数排在一个圆圈中，使得每相邻两个数的和都是质数，可以做到吗？如果是1-20呢？
分析与解答：
以上是本公众号7月9日发的一篇文章中的内容。昨天一位家长反馈，她读五年级的女儿发现题目解答有误：20+19不是质数。
遗憾，我经常把题做错。包括暑假作业中一些简单的题，提供答案时经常出这样或那样的问题。
非常感谢这位小朋友指出我的答案错误。孩子家长说自己的女儿很喜欢这些题。
尤其难得的是，通过自己的研究，这位小姑娘得到了正确的答案：
小朋友调整前后的答案分别是:
只是把1和11交换位置，小朋友思维很敏捷。
我重新思考这个问题，得到以下思路。
我们知道，质数的分布越来越稀疏。表现在这个问题里，我们来考虑1和20这两个数。小于20的数，与20相加的和，肯定在21——39之间，与1相加的和，肯定在3到21之间。21到39中的质数只有23、29、31、37这4个，而3到21中，有3、5、7、11、13、17、19共8个是质数。前者少，后者多。也就是说，在20以内，要找一个数与1的和是质数，比找一个数与20的和是质数，方案要多一些。因此，在安排中，20难安排，而1容易安排。
考虑到这，我们容易想到，应该尽可能先安排较大的数，也就是排数的时候，可以从最大的开始，然后每次都优先排大的数。
这样，第一个考虑的是20。
然后，与20相加的和是质数的有17、11、9和3。优先使用17和11，分别排在20的两边。如此继续。以下是排列的过程：
于是继续考虑，在其他情况下，可以使用这个策略吗？比如1~30。我们发现是可以的。以下是答案：
继而考虑一个问题：
是不是对任意大于1的自然数N，都能将1~N按一定的顺序排列在一个圆周上，使得相邻两个数的和是质数？
1~2可以
1~3不行，因为3的两边只能是1和2，但3+1不是质数。
1~4可以。1、4、3、2就是符合要求的排法。
1~5却不行。因为找不到两个数可以放在5的两边。
1~6可以。6、5、2、3、4、1就是一种符合要求的排法。
1~7却不行，因为7的两边必须是两个奇数，这两个奇数的旁边必须是两个偶数。这样，就剩一奇一偶两个数。
无论把剩下的奇数放在哪，与旁边的奇数相加，就不会是质数了。
是不是N太小时，1~N的安排方式有限，可能无法找到符合要求的排法，当N比较大时，就可以解决?目前不得而知。
还有，N旁边最大的数是N-1，最小的数是1，如果对于某一个N，N+1到N+N-1之间全是合数，那就显然不能解决了。因为你无法找到两个数放在N的旁边。
但是有一个叫做伯兰特-切比雪夫定理的结论，是说N与2N之间一定有质数。
看来，问题还没有得到解决。
欢迎有兴趣的大小朋友研究。
另：质数的分布是一个非常有挑战的问题。比如小于N的质数的个数，当N充分大时，接近N/lnN,即N与N的自然对数的比值。至今都记得，自己第一次知道这个结论时那种受震撼的感觉，觉得数学简值太神奇，神奇到有点恐怖。
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