教材为什么没有引入短除法作为求最大公因数和最小公倍数的方法？| 教材上册答疑（10）

同样的“配方”，不同的“味道”！～(￣▽￣)

每周五小编将陆续为大家带来关于“新世纪小学数学常见问题答疑系列”的相关内容，该内容主要记录并解答了老师们在使用新世纪小学数学上册教材过程中所提出的一些常见问题。

不论您是老师，还是家长，希望它都可以让你对教材有更进一步的认识，更好地帮助孩子学习哟~

根据题意，学生可以列出多种算式，如 3+2=5，2+2=4，4+1=5。但不管是哪个算式都要让学生用自己的语言说明算式的意义。如对于 3+2=5，这个算式表示的是图中有 3 个男生，2 个女生，加一起共有 5 个小朋友；对于 2+2=4，如果学生说这是指打球的小朋友两边各两个，加一起是 4 个，显然也是合理的；对于 4+1=5，学生如果解释 4 是指打球的小朋友，1 是指作裁判的小朋友，他们加一起是 5，也是合理的。只要学生的算式和解释的意义合理就可以。

数字的书写形式和语音形式不同。例如，“3”读作“三”，“3”是数字的书写形式，“三”是数字的语音形式。教材作为纸质材料将数字的语音形式用汉字呈现。学生在认识数字时要掌握数字 3 的读法和写法。而乘法算式与数字有所不同，主要是学生在学习乘法时，已经掌握了数字的形、音和意，读乘法算式重点是学生会认和读乘号及从左到右依次读算式的各个部分。 所以，写读作时“2 乘 4”或“二乘四”都是可以的。

只要学生能够正确的读出来即可，不要求学生将其转化成汉字呈现。此外各版本教材也均采取这种处理方式。

点子图是一种直观模型，相对于情境中的实物原型来说，更为直观简单，能直观体现乘法的意义。同时，有利于理解算理，方便学生动手操作，可通过圈一圈、画一画完成学习任务，在鼓励学生算法多样化时是一个有价值的模型。

本套教材从二年级开始引导学生使用点子图理解乘法意义，帮助学生编制和记忆乘法口诀。在本册教科书中再次出现，是为了帮助学生理解两位数乘一位数的口算方法和竖式计算的道理，在后续学习两位数乘两位数过程中，也发挥了很大的作用。

如第四单元“需要多少钱”一课，第二个问题用介绍的方式呈现了借助“点子图”和“表格”进行口算的方法。其中淘气将 12×3 的点子图平均分成两部分，用表内乘法和加法算出结果，渗透的是“乘法分配律”；第三个问题中的点子图给学生更多形式的分法，引发学生更深刻的思考。

教学时应注意，一是要给学生在点子图中圈一圈、画一画的机会；二是只要圈画的合理就应该给予鼓励； 三是不要求学生对所有的圈画方法都掌握。

又如“蚂蚁做早操”一课，第一个问题要求“在点子图上圈一圈，算一算”，为学生探索不同的计算方法奠定基础。第二个问题重点是突出竖式加法里面两个加数的意义，揭示了竖式计算每一步的含义，即都是用一位数分别去乘另一个因数的每一位，再把所得的积相加。

教学时，要鼓励学生充分的探索、交流，引导学生对自己的圈法做合理的解释，如果没有出现书中的方法，可以引导学生看书理解。学生也可能出现其他圈算的方法，只要合理就给予肯定，其中第三种圈算方法，有利于理解乘法竖式的算理，建议让学生仔细观察，将每一步口算过程与点子图中圈画的点子对应起来。还可以把表格、竖式、点子图进行对应，说一说竖式计算的每一步，在表格和点子图中分别表示是哪个计算过程。

路程、时间与速度是学生在小学阶段认识的一个非常重要的数量关系，也是一种基本的模型。教材在第一学段已经有了一定的渗透，后面在学习正反比例时，还要利用这个模型。教材在编写时非常重视一些基本的数量关系，为学生的后续学习提供直观的素材。

对这部分内容的学习，教材并不仅仅是让学生记忆三者的数量关系，而是通过各种途径帮助学生建立三者的联系。为了让学生更好地理解三者之间的关系，教材设计了 3 页 2 课时的内容。第一课时提出四个问题：1.“猜一猜，谁走得最快？”让学生体会速度与时间和路程紧密相关。2.“怎样比较小兔和松鼠谁更快？”与同伴说一说。启发学生从多角度思考解决问题的方法，初步感受速度的意义。3.“认一认。”在前两个问题的基础上，认识数量关系：速度=路程÷时间。4.“看一看，说一说。”为“速度”选取了丰富的实例，帮助学生充实对“速度”概念的认识和理解，解释各种速度的实际意义。第二课时“试一试”的内容，则是帮助学生理解并掌握路程、时间、速度的数量关系的变式，以及认识总价、数量与单价的数量关系。

按照《课程标准（2011 年版）的要求，教材在编排求两个数的公因数与公倍数等内容时，没有把“用短除法分解质因数”的方法作为求最大公因数或最小公倍数的基本方法，而是用列举法，如下图。

首先需要明确的是，教材提供的列举法不仅在解决实际问题中用途广泛，而且在数学中也是重要的。简单明了，几乎所有的学生都能够理解。对于求最大公因数和最小公倍数的问题，使用这个方法是基于学生对最大公因数和最小公倍数的理解的自然方法，既有利于对概念本身的理解，又简单易学。而短除法是基于分解质因数，学生理解起来比较困难，如果要求每一个学生掌握，学生要花费大量精力，有的学生只好去机械记忆形式，结果反而不利于对最大公因数和最小公倍数等基本概念的理解。

另外，根据标准，教材对“倍数与因数”“分数加减法计算”等内容的要求进行了适当的限制。如，求最小公倍数，只要求在 1～100 的自然数中，能找出 10 以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；再如异分母分数加减法，两个分数的分母一般不超过 10 等。也正因为数据比较小，所以，利用列举法找出公因数或公倍数并不麻烦。

对于教材为什么没教短除法，一线教师也有很多体会，下面是从《新世纪小学数学》杂志中摘录的一段，供大家参考。

甲老师的观点：教材这样处理是有道理的。以前总是认为列举法是一种很笨的方法，从来不主张学生用，只教自己认为最简便最有效的方法，比方说找最大公因数就用短除法。可是这套教材却提倡方法多样化，而且很重视列举法，用了这本教材后才发现：列举法其实也是一种不错的方法，它用途广泛、直接、明了、易懂、不易遗忘，特别适合思维能力弱一点的学生，所以我们要消除对列举法的偏见。老师心目中最好的方法不一定适合每一个学生，说到底，择优要因人而异。

乙老师的观点：教材这样的编排应该是有考虑的。如果是重要的、核心的，而且对学生的后续学习非常有用的数学知识，教材一定会呈现的；像短除法这一类知识，虽然也有用，但它不是核心的、不是特别重要的数学知识，以后也很少用到，所以教材将其删去了，目的是为了让学生节约更多的时间和精力，用来学习更有价值的知识。我们应该领会教材的编写意图，慢慢学会选择。有用的知识这么多，我们总不能通通都教给学生吧，所以选择就显得非常重要了。这是我教这套教材后的一点点体会。

（《短除法——教？还是不教？》易虹辉，《新世纪小学数学》，2006 年第 2 期）

在六年级上册教材第 74 页“比的应用”一课，教材带领学生解决了按比例分配橘子、调制巧克力奶等问题。这些内容实际上就是“按比例分配”的内容，但教材中没有给出这个名称，目的有两个：

第一，由于按比例分配问题有一定的解题方法，教材担心引入这个名称后，有的教师在教学时又把这一问题归成一个类型，会很快引入解这个类型问题的方法，学生也会把解决问题变成套用方法。而学生通过对比的意义的理解，完全可以自己探索出解决问题的方法。所以，教材鼓励学生根据比的意义解决这一问题。

第二，如果引入“按比例分配”的名称，学生可能会询问什么是比例，于是又要引入比例的概念。这样一来，在学生刚刚接触比的学习，就引入了比、比例、比值等概念，这样会使学生将大量精力放在区分这几个概念上，而忽略了对比的意义的理解。

综上，为了帮助学生将“比的意义”的理解作为重点，教材尽可能避免出现更多的类型、概念等，也希望教师们在教学过程中将关注点更多地放在比的意义的教学中。

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