一课研究之计算教学中算理和算法融合的有效策略

      《数学课程标准（2022年版）》明确指出“在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”这一目标的提出就要求教师在数学计算教学中，不能仅仅关注学生运算技能的掌握，更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机的结合在一起，从而发展学生的计算能力。

      计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算过程中的道理，解决为什么这样算的问题，算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。在小学阶段我们通常需 要借助教具演示、学具操作、圆片对照等直观手段，利用数形结合的方式，达到对算理的清晰理解，即算理直观。算法就是计算的基本程序和方法，主要是指计算的法则，就是简约了复杂的思维过程，添加了人为规定后的程式化的操作步骤，解决如何算得方便、准确的问题，不但可以解决当前的特殊问题, 还能解决与这类问题相似的问题。因此，算法具有机械性、普遍性、抽象性的特点，即算法抽象。

      算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的、缺一不可的两个方面。让学生在直观中理解算理，充分体验直观算理到抽象算法的过程，使直观算理和抽象算法有效衔接，即算理和算法的有效融合。算理的理解和算法的沟通，需要借助可视化的支架，搭建沟通的桥梁。

策略一：构建“三联一比”的教学模式，沟通算理和算法

      新课程标准指出，创设有意义的具体情境可以激发学生参与学习数学的兴趣。在计算教学中创设有意义的教学情境不仅能激发学生学习数学的兴趣，结合有意义的教学情境能让学生体会学习计算的必要性，借助可视化、蕴含转化思想、有现实意义的教学情境，在支撑算理的理解促进计算方法的形成有重要作用。有专家研究表明，人对数的直觉往往是与生俱来的，理解运算的意义和算理也是从具体的数量关系和现实情境展开的，现实情境对于理解运算的意义和过程不可缺少，依托具体的情境有助于计算算理的理解。

     千米和米，元和角，吨和千克等是学生学习计算的重要学习素材，从学生生活经验出发有助于他们把学习的概念和日常生活中熟悉的事物建立起联系，利用单位名称通过转化的数学思想，把千米转化成米，从整数除法的视角迁移理解算理，沟通算法。

    22.4km=22400m 

    22400÷4=5600(m)  

    5600m=5.6km

     以整数除法为支架，学生很容易明确理解整数除法和小数除法的计算，算理和算法的本质是相同的，用原来的旧知识、旧经验直观地理解沟通了算理和算法。纵观人教版小学数学教材数的运算教学中，教材都创设了有意义、有助于学生理解算理的教学情境，以教学情境为纽带，算理和算法有效沟通。

      由问题情境中的数量关系可以清楚具体地理解算理，要做到算理和算法的深度融合还要脱离问题情境从运算的性质、运算律和数的意义理解算理。马云鹏老师指出：所有运算都可以归结为数的意义和运算。所谓的四则运算本质上是计数单位的累加和拆分，数的意义和数的表示又是理解运算的基础，所有的算理，追其根源都要回到对数的理解。

      除法是一个平均分的过程，每次分都是把“余数”的计数单位变小和低一位上的数合并继续分的过程。玉老师将有余数的整数除法变成更精确的小数除法，使学生问题不断、思考不断。学生在不断发现问题、解决问题中感悟到分下去、继续分下去的极限思想实际上就是用更小的计数单位相除。生动的语言，深入浅出的设计，让学生比较深刻地理解了小数除法的本质。在理解算理的过程中，自然而然地衔接算法，先从高位算起，除到哪一位，商就写在那一位的上面。计算教学中，所有的计算教学都可以从数的意义理解算理，沟通算法。如小数的加减法，小数点要对齐本质就是相同计数单位的累加。整数乘法，写积时要注意数的位置，本质也是计算单位的累加。

      “竖式”本质上是记录运算过程的一种工具，是对数的运算算理和算法的符号表征，在小学数学运算中有着重要的作用。通过横式记录与竖式记录方式的联系，能帮助学生沟通横式计算与竖式计算的联系，学生充分理解用竖式计算“除数是整数的小数除法”的算理，掌握相应的算法，感受竖式计算的简洁性和实用性。

      沟通横式计算与竖式计算的联系，能让算理和算法有效融合，把算理直观化，算法可视化。除法竖式计算就是一个在反复尝试、调整中，不断逼近、寻找结果的过程。

     转化是计算教学的重要思想。它是从未知领域发展，通过数学元素之间的联系向已知领域转化，找出它们之间的本质联系从而解决问题的一种思想方法。在小学数学中，主要表现为数学的某一形式向另一形式转变，如化难为易、化新为旧、化繁为简。计算教学中，任意一种新知的学习都可以从旧知中迁移，再通过对比的方式把算理和算法有机地融合。如分数除法可以转化成小数除法，小数除法又可以转化成多位数除法，多位数除法又可以转化为除数是一位数的除法，除数是整数的小数除法可以转化为除数是整数的除法进行教学，再通过对比异同点，把算理和算法有机融合。

      在对比中，抓住核心问题这两个竖式有什么相同点和不同点？将除数是小数的除法和除数是整数的除法联系起来。“怎样算”与“为什么这样算”有机融合，体现了“循理入法”，“以理驭法”的理念。学生并不只是盲目地记住怎样算，而是充分对比算理、算法后，深度把握算理和算法后进行类比概括。

策略二：形成“境、符、语”三融的表征模式，沟通算理和算法

 众所周知，算理是是计算的依据，是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，本身就具有抽象性。算法是计算的基本程序，算法能使算理具体化。算理和算法的融通，需要借助多种表征方式，在表征算理和算法的同时，二者相互联系，相互融通的。任意知识点不是孤立存在的，知识与知识之间都是有联结点的，在数学知识的内部，数学与数学、数学与生活、数学与其他学科都是有联系的。知识的习得方式也不是单一的，在眼动的同时，口动、心动、脑动，算理表征的同时，也在和算法进行联结。课题组在计算教学中形成了“境、符、语”三融的表征模式，有效沟通算理和算法。

     境——情境表征，利用课堂创设的现实情境理解算理，沟通算法；符——符号表征，通过数学符号把算理和算法可视化；语——语言表征，通过语言表征把算理形象化；把三种表征方式有效融合起来，有助于算理和算法的沟通。

      三种表征方式把算理和算法有效融结起来，学生通过列竖式计算将情境表征转化为符号表征，通过把算理和算法说出来进行明确理解，符号表征转化成语言表征。不同的表征方式融结在一起，算理和算法得到了有效沟通，从而形成计算教学学生算理和算法并进行有效沟通的一般表征方式。教师不能只简单地告诉学生如何计算，而是让学生把不同的知识经验进行个性化的沟通，引导学生不断地进行尝试，最后理解商的小数点要和被除数的小数点对齐的道理。

      算理和算法是计算教学两个不可或缺的关键。它们是相互联系、有机统一的整体。透彻理解算理和熟练掌握算法是提高学生计算能力的重要保证。“三联一比”的教学活动和“境、符、语”三融的表征模式，学生在直观中理解算理和抽象的算法，还要让学生体验直观到抽象的过渡和演变过程，算理和算法进行有效的融合，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实掌握。

本期审核：潘慧敏  刘远桥