负数在中西方数学史中都经历了什么？
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2023-07-22 18:00
上海
数是数学中最基本的一个概念，自然数是我们能够最直观认识到的数，将自然数延拓一下，我们可以得到分数和小数的概念。
但是负数是一个很神奇的概念，这需要人们突破0的概念，认识到“比没有还要小的数”。今天的我们很容易就能接受负数，但是在古代来讲，负数的产生与被广泛接受，东西方却走着近乎截然相反的道路。我们先来看西方，相对来说，西方人比东方人更为执拗，更为认死理。最早引入负数运算规则的应该是古希腊的代数鼻祖丢番图，他规定，消耗数乘以消耗数得到增添数，消耗数乘以增添数得到消耗数。其中的消耗数我们可以理解为负数，增添数理解为正数，一个负数乘以一个负数，得到一个正数，一个负数乘以一个正数，得到一个负数。在计算方程的时候，我们有可能会得到方程的根，可能是正数，也可能是负数，比如方程“4=4x+20”,求得x的根为-4，丢番图认为这个根毫无意义，甚至是荒谬的，因此将其舍弃。古希腊人在早期还认为无理数也是荒谬的，一旦方程得到了无理数的根，也会将其舍去。丢番图之后，西方在很长一段时间里都没有引入负数的概念。在文艺复兴时期，第一个将负数引入数学，并给其提供了一个合理解释的人是意大利的数学家斐波那契。他通过负债对负数进行了一番解释，但当时大部分数学家对此保持怀疑的态度，一直不肯接受负数。1484年，法国数学家丘凯曾给出了二次方程的一个负根，不过他没有承认这个负根，而是说负数是荒谬的数。1545年，卡丹承认方程可以有负根，但他认为负数是“假数”，只有正数是“真数”。英国皇家学会会员马塞雷则认为方程中承认负根只会把方程的整个理论搞糊涂，只有把负数从代数里驱除出去，才能使代数更为简洁明了与完美。而且更有意思的是，为了在解方程的过程中避开负数，马塞雷把二次方程进行了分类，他将有负根的方程单独考虑，并在最后舍去负根。在长久的历史中，负数一直被西方人所排斥，大家都认为这是一个荒唐的数，甚至就连法国的伟大数学家韦达也不肯承认负数。到了17世纪，帕斯卡还对负数进行了嘲讽，说“如果我们从0拿去4，那么0还会剩下什么”，因此他认为“从0减去4纯粹就是胡说”。同时代的数学家兼神学家阿尔诺（Antoine Arnauld）还有过一番有趣的讨论，他说，如果我们承认负数的存在，那么就会得出一个荒谬的示子，即-1比1，等于1比-1，小数与大数之比，怎么可能等于大数与小数之比呢？自文艺复兴之后，随着数学的发展，西方人开始慢慢接受负数，从一开始的排斥，到怀疑，再到用用就好了，到最后的接受，着实是让西方人经历了一番曲折。17世纪之后，一些人开始使用负数，但一直到18世纪，还是有不少数学家反对负数。简而言之，到了启蒙时期，西方人对负数也并不是全然接受的。笛卡尔创立了解析几何之后，由于负数在坐标轴中是直观的，且计算起来也没什么问题，因此人们大都使用负数，但一直不肯承认它。这样的尴尬情况一直到了19世纪才有所好转，数学家们为整数奠定了逻辑基础以后，负数在欧洲才被正式确立，真正在数学上得到了它应有的地位。相比于西方，我们中国古人在接受负数的时候就没那么多的心理包袱。在古代，负的本意是亏欠、亏损之意。在简单的四则运算之中，古人必然很早就接触到了小数减去大数这类让人一开始摸不清头脑的问题，但人们很快并且很容易就接受了这一概念。在一些早期出土的汉简中，就有负数加减运算的例子。在《九章算术》中，就有许多负数的影子，在其第八章的方程篇章中，书中明确指出，如果“卖”是正，则“买”是负；如果“余钱”是正，则“不足钱”就是负。刘徽在给《九章算术》做注的时候，进一步指出：两算得失相反，要令“正”、“负”以别之。这意思是说，在列方程时，由于所给数量可能具有相反意义，因而不但需要正数，还需要引入负数以作区分。这个定义表示，正负是互相依存的，相对的。刘徽也是首次明确了“正负数”的中国古代数学家，甚至在世界数学史上都是独一无二的。刘徽认为，在方程中，负数不一定表示少，正数也不一定表示多，因此，不仅一行中可以正负数交错，而且消元时，可以使参与消元的两行相应的项异号。这也就是说，如果我们对方程的每一项都改变其符号，将正变为负，将负变为正，整个方程是不变的。比如，方程“3x+5y=6”与方程“-3x-5y=-6”是等价的。中国古代的数学家在计算负数的时候，一般用红筹表示正数，黑筹表示负数，有的时候将筹正着摆，表示正数，斜着摆，表示负数。南宋的数学家杨辉在表示负数的时候，在数字后面写个负字，比如“-36”就可以记为“三十六负”。中国是阴阳文化，一阴一阳之谓道，因此古人并不会觉得负数是一个怪胎，是无法接受的玩意儿。西方人，其中包括古希腊人，注重逻辑思辨，而中国的古代数学，以实用为主，不太注意逻辑的严密性。负数的引入，可以更方便地解决一些亏欠与负债等现实问题。以实用为主的中国古代数学虽然在接受负数的时候要比西方人容易许多，但也仅仅只是处于实用的角度考虑。也正因为此，虽然我们古代的数学家在引入和接受负数的时候没有遇到太多的阻碍，但在心里依然对其有所歧视。从现有的史料上来看，负数最早大概出现于两汉时期，但一直到数学昌盛的宋元时期，在对待方程的负根时，古人的态度与西方数学家的态度也是一致的，即不承认负根。当人们可以解决高次方程的求解问题时，他们所求得的解还只是正根，即便有多个正根时，也往往只求出其中的一个正根。对负根更是根本不去考虑的。这也就是说，负数是一个很好用的工具，在使用它的时候，中国古人会大大方方地使用它，不会有任何心理包袱，但若是解方程得出了负根，则也是毫不犹豫地将其丢弃。一般而言，中国古人不会单纯为了解方程而解方程，他们大都是出于实用的目的，因此解出的方程根在现实中都有对应的对象，比如求面积，求人数等，如果得出了负根，一般在数学应用题上，我们现在人也会将其舍去，就更不用说古人了。而西方人，则是在一开始就不接受负数，在使用它的时候也会感觉到别扭。
