烧脑的单位、量纲和常数

文摘   2024-07-14 18:06   四川  

不要说对于普通人,就是对于很多工程师甚至是物理学家,与电磁有关的物理量的单位、量纲和牵涉到的常数,以及常数的量纲也是颇为烧脑。


啥是量纲(dimensions)?

那就得先有个量(quantity),可以用来衡量“多大,多少,多强…”的东西。隐含着相对的概念。


衡量“多大,多少,多强…”时,有的只要一个纬度,有的需要多个纬度,这就需要纲领。比如,衡量一个人高矮时,一个纬度就够了,衡量一个人丑帅时,可能需要考查身高、体重、肤色、五官甚至身价。这个纲领,就是量纲(dimensions),量纲可能很复杂,就给它取个名字叫单位(units),包含了那么多纬度的(帅)可以是一个单位,1帅还是0.5帅。


物理量那么多,这就不得不说国际单位制的七大基本物理量:质量、长度、时间、电流、物质的量、热力学温度、发光强度。我们最熟悉的是质量、时间和长度。


这里面竟然不包括力。力是导出单位,由F=ma定义,加速度也是导出单位,由长度和时间定义,米每秒平方。


七大基本物理量其实并不是全部必须的物理量,比如电流也可以由质量长度导出。


我们来捋一捋与电磁有关的物理量。


库伦定律告诉我们,两个点电荷之间有力的作用,与电荷量成正比,与它们之间的距离的平方成反比,比例系数不知道,我们暂时用k1表示:

如果电荷的单位已被定义,k1的量纲和大小也就被确定。

电场被定义为单位电荷所受的力:


安培发现距离为d的两无限长平行载流导体,单位长度上所受力有:

k2前面的无量纲系数2,是为了后续处理方便。如果电流已被定义,k2的量纲和大小也就被确定。


电荷守恒定律数学上可以表示为:

即一点附近的电流密度的散度等于该点附近电荷密度的变化率的负值。

由以上关系,可以得出k1、k2的关系,由光速关联起来:

类似电场强度的定义,磁感应强度被下式定义:


系数a是为了处理不同单位制(比如高斯单位制和国际单位制)换算时出现的一个数,可能有量纲,可能无量纲。
根据法拉第电磁感应定律,有:
如果电场强度,磁感应强度已被定义,k3的量纲和大小也会确定。


如果把麦克斯韦方程组写成:

注意,前两个公式里只所以出现了无理数π,是因为根据散度定理和旋度定理,出现面积公式和周长公式,都与π有关。刚才那个系数2的存在,让π前的系数均为4。


如果电流密度J为零,所谓source-free,两个旋度公式还可以整合成:

这其实就是电磁波波动方程,进而会有如下关系:
之前提到的电荷、电流的量纲和单位都还没有定义,除此之外,力、距离、时间、质量的单位也没有确切定义。
电磁学里比较常用的是国际单位制和高斯单位制。用国际单位制时,长度单位用米,质量单位用千克,时间单位用秒,电流单位用安培;用高斯单位制时,长度单位用厘米,质量单位用克,时间单位用秒,少一个电流单位,因为电流单位可以导出。
在高斯单位制下,真空电容率和真空磁导率均为无量纲常数1;
在国际单位制下,真空电容率和真空磁导率分别为:
电场强度和磁感应强度在国际单位制和高斯单位下:

范泛谈电机
尝试浅入浅出地谈谈被众多人视为玄学的电机学,以及与电机有关的知识:电机制造,电机控制,电机维修等。
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