Nature physics：肌肉纤维的收缩液压动力学模型，有助于启发人工肌肉的开发
文摘
科学
2024-07-23 00:33
广东
Active hydraulics and odd elasticity of musclefibres本周要介绍的文章是来自于哈佛大学物理系的L.
Mahadevan教授课题组的工作。L.
Mahadevan担任应用数学、组织与进化生物学以及物理学的 Lola
England de Valpine 教授。他以其跨学科研究而闻名，将数学、物理学和生物学结合起来，研究复杂系统的行为。他的工作涉及广泛的现象，如旗帜飘动、皮肤皱纹的形成以及捕蝇草的闭合机制。他的显著贡献为他赢得了许多荣誉，包括麦克阿瑟奖学金、古根海姆奖学金和哈佛大学的 George
Ledlie 奖。在哈佛大学，Mahadevan领导 Soft
Math 实验室，他的研究继续推动流体动力学、生物组织力学以及日常现象物理学等领域的理解界限。肌肉是一种复杂的、分层组织的柔软收缩引擎。为了理解收缩速率的极限和肌肉能量学，本文构建了一个粗略的多尺度模型，将肌肉描述为一种活性动海绵。对不同物种和肌肉类型的现有实验分析强调了空间异质应变和局部体积变形的重要性。最简化的理论模型展示了收缩如何引发细胞内液体流动并驱动主动液压振荡，从而限定了超快速肌肉收缩的极限。由于肌肉的主动性和各向异性，其粘弹性响应自然是不对称的或称奇异的。这使得肌肉能够通过空间应变的周期性变化产生替代模式的动力输出，这与之前研究中的基于时间周期的描述形成对比。研究提出了一种修正的肌肉动力学观，强调了软液压动力的多尺度时空起源，具有潜在的生理学、生物力学和运动学方面的影响。肌肉是几乎所有运动的主要驱动力。许多关于肌肉的研究集中于收缩机械的分子方面，例如肌动球蛋白电机动力学和钙信号传导。然而，肌肉纤维在多个尺度上具有空间和层次组织的复杂结构和机械性质：横纹肌纤维是由密集的各向异性主动收缩的聚合物晶格（构成肌原纤维的肌节）组成的柔软、湿润和活跃的材料，浸泡在胞质中。虽然水是肌肉纤维的主要成分（体积的70-90%），但通常被在活动过程，水常被认为是被动运作的。然而，近年来，细胞内液体流动在决定细胞形态、运动性和生理方面的核心作用越来越受到认可，例如在植物中的快速非定向运动。肌肉可以在102到103 Hz的频率范围内工作，功率输出约为5–500
W kg−1，这自然引起了关于其性能动态极限的生物物理机制的疑问。鉴于肌肉中大量的水分，我们在此探讨空间液压效应在收缩肌肉纤维动力学中的潜在作用。图1b展示了一个粗略的视角，暗示肌肉纤维如同一个活跃的充满液体的海绵。当肌肉纤维收缩时，肌动球蛋白丝晶格相对于周围液体的相对和空间不均匀运动是必然的（由于存在完整的肌膜，整体上不可压缩）。局部变形必须通过肌丝晶格的孔隙挤压液体，尽管这一过程的动态后果通常被忽略，因为大多数体外研究都集中在允许自由排液的甘油化（透化）肌肉纤维上。早期对提取的肌动球蛋白丝的实验强调了随着“剧烈收缩”而排出水分的收缩，这一点在其他研究中也有提及，由于渗透物质、收缩等导致的水分移动。自那以后，分子研究表明活性交叉桥会产生纵向和横向（径向）应变；后者导致肌节体积变化和液体重新分布。空间非均匀应变也与离体和在体的完整肌肉纤维收缩有关，表明相关的压力和液压流动可能在动态上是相关的。最近探测肌丝晶格快速动力学的光学和X射线散射实验进一步量化了这些观察。对不同肌肉类型和物种实验中的活性振荡肌纤维数据进行重新分析，允许我们获得肌节中局部横向（ϵ⊥）和纵向（ϵzz）应变的时间轨迹。作为一个例子（图2a,b中）我们展示了频率约为1 Hz的甘油化骨骼肌纤维（兔腰大肌）收缩振荡导致的应变不是体积保持的；也就是说，它们是非等容的（图2），尽管纤维是透化的。这可能是因为纤维足够细，缺乏变形的径向梯度。活体测量果蝇非同步飞行肌肉中完整肌节的几何形状显示晶格以恒定的晶格间距收缩，因此在自然飞行条件下ϵ⊥≈0（翼拍频率约为156 Hz；图2c）。完整的烟草天蛾同步飞行肌肉在生理条件下（频率约为25 Hz）也表现出周期性的晶格扩展和收缩，无论是体外还是体内。在以上所有例子中（无论是否有膜），变形的肌丝晶格都未能保持其局部体积（ϵzz + ϵ⊥ ≠ 0），这意味着在肌节中必须存在与时空应变异质性一致的液体运动。鉴于上述证据，我们需要建立一个模型，以捕捉和解释肌肉纤维中的三维（3D）和体积变形。当前的方法使用详细的、空间上明确的肌肉收缩计算模型（参见参考文献7, 29及其中的引用），并开始包括流体流动的作用，但在很大程度上忽略了问题的多尺度、弹性、活性和空间方面。在此，我们通过开发一个最小的连续模型，从一个补充的视角出发，该模型识别相关的粗粒变量和关键无量纲参数，并突出了关于细胞对肌肉性能限制的一般生物物理原理。我们通过适应孔弹性理论来实现这一目标，该理论描述了充满液体的多孔弹性材料。在图1b中，我们展示了这一框架的推广，将分子肌动球蛋白动力学与各向异性弹性、活性和流动集成在一起，将肌肉纤维描述为一个自压缩的海绵。生物物理模型
我们将肌肉纤维建模为一个沿着ẑ轴的圆柱体（长度L，半径R），由一个活跃的多孔固体（ϕ：固体部分）浸入液体（1−ϕ：液体部分）中组成。丝状物和柔性蛋白的交错排列赋予肌节单轴各向异性弹性应力（σel），其与应变张量 ϵ = [∇u + (∇u) T ]/2线性相关（位移场u的梯度，具有径向ur和轴向uz分量，假设轴对称），其中排水弹性模量是ϕ的函数（详见补充资料IA部分）。多孔固体的被动弹性响应既是各向异性的又是可压缩的，仅在ϕ→1时接近不可压缩极限。除了被动应力外，粗（肌球蛋白）和细（肌动蛋白）丝之间的分子相互作用会导致活性应力（σa）。复合材料中的流体应力在大尺度上由各向同性压力p主导，其梯度驱动流动速度（v），粘性耗散仅在液压孔径ℓp ≈ 20–55 nm的尺度上显著（详见补充资料IA部分）。我们强调，粘性力在小尺度上很重要，并不是因为它们平衡个体马达的力量（它们不平衡），而是因为它们平衡了活性应力的大尺度空间梯度（~1/L）。质量和动量守恒然后共同决定了整体力平衡、全局不可压缩性和流体中的力平衡如下（详见补充资料IA部分）：∇⋅[ϕ(σa+σel ) − (1 − ϕ)p1] = 0 (1)∇⋅[ϕ∂t u + (1 − ϕ)v] = 0 (2)(1- ϕ)(v-∂ t u)=- (ℓ p2K/
η) ⋅∇P (3)其中，η是流体粘度，K(ϕ)=K∥(ϕ)zz+K⊥ (ϕ)(1-zz)是一个依赖于ϕ的各向异性渗透率张量（详见补充资料IA部分）。我们注意到，肌节的各向异性结构确保晶格在径向上对流体流动变得不可渗透（当ϕ ≈ 0.91时，K⊥ → 0，详见补充资料IA部分），然后才变得不可压缩（ϕ → 1）。因此，在所有生理相关的ϕ ≈ 0.1–0.22范围内，导致细胞内流动的体积变形是不可避免的。为完成问题的表述，我们需要确定依赖于肌动球蛋白发动机作用的活性应力σa。对于一个简单的双状态模型，其中nm(x, t)是结合的肌球蛋白马达的粗粒分数，〈y〉(x, t)是给定时间t和细胞中位置x处马达头的平均延伸，肌动球蛋白交联桥的耦合动力学由以下方程给出（详见补充资料IB部分）：∂tnm =ωon(ϵ ⟂)(1 − nm )−ωoff (⟨y⟩)nm (4)∂t⟨y⟩=y0 (λ∥∂t ϵzz +λ ⟂ ∂t ϵ⟂ )−ωon (ϵ ⟂ )（(
1−nm/)nm) (⟨y⟩ − y0 ) (5)其中， y0 ≈ 8–10 nm是能量冲程期间产生的马达位移， λ∥和λ⊥是与结合横桥的几何形状相关的因子（详见补充资料IB部分）。图1b（详见补充资料IB部分）展示了如何通过已知的负载依赖解离率ωoff (⟨y⟩)通过拉伸激活以及依赖于应变或晶格间距的结合率ωon(ϵ ⟂)来解释反馈，从而实现基于长度的力调节，这构成了著名的Frank–Starling定律2的基础。由于ωon/off 表示有效的粗粒动力学速率，我们并没有区分不同的微观反馈机制。假设肌球蛋白头部表现得像一个具有刚度km、尺寸dm 并沿粗丝具有线性密度 N的弹簧，活性收缩力密度为Fm=−kmnm⟨y⟩，这会产生各向异性的活性应力σa= = −NdmFm[ cos2θ0ẑẑ+(sin2θ0/2)。活性应力包括活性力的轴向和径向分量，受平均横桥结合角θ0 的控制(图1b；详见补充资料IB部分）。方程（1）–（5）补充了适当的边界和初始条件，完成了我们的多尺度连续模型的规范。为了理解模型的动态后果，我们考虑两个简单的极限情况。在被动的各向同性极限（σ_a = 0, K∥ = K⊥）下，我们得出了经典结果32，即 p 在 L 上的多孔弹性时间尺度 τp ≈ (η/E)(L/ℓp )2上扩散平衡（详见补充资料II部分），该时间尺度结合了流变学参数（η, E）和微观结构参数（ℓp）。各向异性将此结果推广到区分轴向流动和径向流动。相反，在主动情况下，忽略空间异质性和流体流动（∇p ≃ 0），我们的模型与先前的分子马达组装动力学理论一致38，其中动力学时间尺度 τk = [ω on +ω off (y0)]−1（详见补充资料II部分）控制着结合马达的驻留时间和活性应力的积累速率。在这种情况下，如果负载依赖的反馈足够强( y0τkω′off (y0) > 1)，分子反应会发展出具有特征频率 ω ≈ 1/τk 的振荡不稳定性（详见补充资料III部分）。结合这两个极限，并注意到在各向异性纤维中径向流动占主导地位，一个关键的无量纲参数——径向多孔弹性Damköhler数——出现了：它捕捉了径向流体渗透（中尺度时间）在肌动球蛋白动力学（分子时间）中的相对重要性。也可以为轴向流动构建一个类似的度量（详见补充资料II部分）。假设典型值 E ≈
0.1–10 MPa, η ≈ 10^{-3} Pa s, ℓp ≈ 20–60 nm, τk ≈ 1–10 ms和 R ≈ 5–100 μm（参考文献6,8,39），我们得到了一个广泛的 Da⊥ ≈ 10^-2–10^3 范围，这在肌肉生理学的进化范围内是可及的，并且似乎被利用（图3b）。图3: 主动液压限制收缩肌肉比率
当上述所有效应都被纳入后，会出现一种依赖于“主动液压”的振荡不稳定性——即一个将多孔弹性流体流动、主动应力、分子动力学和空间应变梯度耦合在一起的反馈回路（图3a）。在这里，主动应力的局部积累（时间尺度为τk）挤压肌节，迫使流体流动并扩展晶格的邻近区域（时间尺度为τp），这反过来通过拉伸激活的空间变化引发肌球蛋白的进一步积累。为了说明这一点，一个最小的一维（1D）描述，假设ϵ⊥ = 0 就足够了（适用于果蝇飞行肌肉26）。沿肌纤维的轴向力平衡意味着∂z[ϕ(σ azz + Eϵzz) − (1 − ϕ)p] = 0, 而多孔弹性流动则表明∂ t ϵzz =K ∥ (ℓ p2 /η)∂ z2p。考虑到纤维尺度上的最慢模式（L），这些方程共同（详见补充资料IIIA）得出τp∂tϵzz≈ −[ϵzz +σzza/E].。在主动应力与结合的肌球蛋白密度相关的极限情况下（详见补充资料IIIA），我们可以写出σzza ≈nm并线性化动力学围绕稳态马达密度(nm=nm0 +δnm , nm0=ωonτk)得到∂tδnm=−δnm/τk−βλ∥ nm0m∂tϵzz，其中包括通过β = y0ω′off (y0)/ωoff (y0) > 0的反馈机制（详见补充资料IIIA）。在活性足够强的情况下，耦合动力学会经历Hopf分岔，导致具有特征频率 ω ≈ 2π/√τkτp的主动液压振荡自发出现，使用 τ_k ≈ 0.3 ms（参考文献4）和 τ_p ≈ 5–6 s 的估计值预测果蝇翼拍频率 ω ≃ 150–160 Hz（详见补充资料IIIA）。对于一般的3D变形，由于细纤维（R²/K⊥≪ L²/K∥）和Z盘减少的渗透性，流体更容易径向（而不是轴向）分流，这是孔径大小异质性包含的特征。因此，径向（即最快的）多孔弹性时间（而不是最慢的）控制压力松弛，并且在液压方面是速率限制的。扩展先前的1D不稳定性计算以允许径向流动，出现了具有缩放特征频率（对于大Da⊥）的自发振荡：其中涉及动力学和多孔弹性时间尺度；仔细计算表明这种现象在更一般的情况下仍然存在（详见补充资料III）。引人注目的是，时空体积变形触发了主动液压振荡（对 Da⊥ ≥ 1 是不可避免的），即使不稳定性机制是动力学的（详见补充资料III），因此提供了对图2实验数据的自然解释。因此，我们看到主动液压，而不仅仅是动力学，决定了自发肌肉收缩的最快速率；在图3b中我们绘制了公式（7）的缩放关系，并与动物王国中的肌肉收缩现有实验数据进行了比较。使用快速音速（蓝色）、飞行（红色）、心脏（橙色）和骨骼（绿色）肌肉中的多孔弹性、动力学和收缩时间尺度的代表性估计（详见补充资料VB和补充表1），我们发现尽管同步肌肉通常由动力学主导（Da⊥ < 1，蓝色阴影区域），但负责昆虫飞行的异步肌肉通常由液压主导（Da⊥ ≥ 1，红色阴影区域），数据与最大收缩速率由主动液压确定一致。由于我们的分析集中在肌纤维固有的速率限制，我们忽略了神经和钙信号设置的约束，这些约束只影响微观动力学，并且可以在超快速收缩中（例如，在异步昆虫飞行肌肉中）超过39。对在收缩肌肉中存在和不存在外在控制情况下的变形空间梯度和细胞内流体流动的直接测量将为这些预测提供具体的测试。空间3D变形对肌肉的机械和能量也有不同寻常的影响。肌肉的机械反应通过总应力（σ_ij）和应变（ϵ_ij）张量之间的时间或频率依赖关系来量化。对于具有频率ω的小正弦变形，线性反应给出 σ ij (ω)=𝒜𝒜 ijkl (ω)ϵ kl (ω), 如图4a中剪切和各向同性分量的示意图所示（详见补充资料IV）。复模量张量𝒜包括弹性（同相）响应Re[𝒜]和粘性（异相）响应Im[𝒜]。被动系统中，时间反演对称性强制𝒜 ijkl (ω)= 𝒜 klij (ω)，但在肌肉等活性材料中，能量的非守恒允许非互易模量（在手性和活性介质中称为奇（粘）弹性41），其违反了由Maxwell-Betti互易性40量化的力学基本属性。使用我们的动力学模型（方程（1）-（5））进行显式计算，揭示了一个非互易奇模量 ζ(ω) 的存在（图4a），此外还包括活性修正的体积模量（Beff(ω)）、杨氏模量（Yeff(ω)）和各向异性（C(ω)）被动模量；详见补充资料IV。在水平电机结合的简化极限（θ0= 0）中，奇模量由以下公式给出：其中Fstall=kmy0nm0是平均停止力，nm0=ωon(0)τk是零负载结合电机的比例（占空比）。方程（8）揭示了，微观上，奇弹性来源于交桥的应变依赖动力学（图4b）。由于结合速率取决于丝间距（h），一个小的径向拉伸（δh）会修改主动轴向力（Fz = Fstall
- koδh），但轴向拉伸（δℓ）不会产生径向力（F⊥ = 0）。这种不对称的弹性反应由奇弹簧常数 ko ∝F stall|ωon′(0)|τk ≠0量化，构成宏观奇模量（ζ ∝ -ko）并存在于大多数微观交桥模型中（例如，参考文献7,23,29及其中引用）。值得强调的是，即使没有通常涉及的手性效应，空间各向异性和活性也足以在肌肉中产生奇（粘）弹性。有趣的是，尽管奇模量的存在在早期工作中被偶然提及，但其影响未被认识。非互易力学的一个独特后果是能够通过应变循环产生工作（图4c,d）。奇模量违反能量守恒，因此机械工作变得依赖于历史。对于单个交桥，一个准静态变形循环产生的非零工作W = -∮(Fzdℓ + F⊥dh)等于ko乘以应变循环围成的面积（图4c）。传统的工作循环分析（即力-位移曲线围成的面积）44 重现了相同的结果，前提是所有变形和力都被正确考虑（图4c）。对于宏观纤维，频率ω的循环收缩产生工作 W = -∮σijdϵij = Weven + Wodd（W >
0：产生工作，W < 0：工作耗散），包括两个项——应变速率依赖的粘性项 Weven
= − ∮ dt (Im[𝒜𝒜 eijkl
]/ω)ϵ̇ ij ϵ̇ kl和应变依赖的奇弹性项 Wodd =∮ Re[𝒜𝒜 oijkl
]ϵ kl dϵ ij（详见补充资料IV）。虽然 Weven只是标准粘性耗散的各向异性推广（Eeven 类似于粘度），但 Wodd 的直观解释是，在没有能量守恒的情况下，不同方向的循环变形不会将系统带回其初始能量，因此可以产生或吸收工作。在与肌肉相关的轴对称极限中，我们可以将 Wodd 简化为（详见补充资料IV）：即奇弹性产生的工作取决于 ζ 和轴向与横向应变空间中循环围成的面积（图4d）。重要的是，这种动力生成机制依赖于3D空间变形（轴向和径向），而不是时间变化。由于尚未对肌肉的粘弹性反应进行3D表征，我们使用我们的模型分析实验45,46,47，测量了小振幅轴向应变（ϵzz）下剥皮肌纤维的1D单轴反应（σzz）。由于纤维被渗透，因此假定液压效应在此不相关。通过汇总不同类型和物种的肌肉数据（果蝇飞行45，鼠心脏46和兔骨骼47），我们将我们的生物物理模型拟合到测量的 Yeff(ω)
= σzz(ω)/ϵzz(ω)（图5；详见补充资料VC分析细节）。所有三种情况下都表现出共同的行为：弹性模量（Re[Yeff]，图5中的绿色）在低频率下表现出低频刚度，在高频率下由于连接的肌动蛋白-肌球蛋白的刚性响应，并在交桥循环允许丝滑动的时间尺度上显示出中间软化。粘性模量（Im[Yeff]，图5中的品红色）在低频率下为负（因此是活跃的并产生工作），在较高频率下转为正（耗散性）（骨骼肌在低频率下显示出由于肌节聚合物的被动耗散而忽略的额外特征；图5右侧）。在1D设置中，负粘性模量是通过应变的时间变化来产生正工作的唯一途径，而奇弹性效应是不存在的。使用我们的模型拟合和已知的结构参数，我们估计了不同类型肌肉的频率依赖性Re[ζ]（图5中的蓝色线；详见补充资料VC的细节）。值得注意的是，奇模量主要为负值，并且在低频率下保持非消失状态（方程（8））。在自发肌肉收缩中的应变循环（封闭负面积）（图2b,d）已被解释为时间变化的泊松比，但结合我们对Re[ζ]<0的预测和方程（9），这些循环被预测为执行主动工作Wodd≈0.2–20kPa。假设操作频率为ω=10 Hz和肌肉质量密度ρm=103kg/m³，我们估计的质量特定功率输出Podd=ωWodd/ρm≈2–200W/kg-1，这在生理条件下可以是显著的14。通过结合X射线方法19,25,28和力光谱技术48测量肌纤维的3D结构和力动态，可以直接测试我们对奇弹性的预测。认识到空间应变梯度和流体动力学的重要性，自然会引出一种基于主动液压振荡的肌肉最大收缩速率ωmax，它通过两个时间尺度 τk 和 τp 将分子、微观结构、宏观几何和材料特性结合在一起。我们对已发表的3D空间变形数据的分析补充了以往对肌肉流变学的时间研究，突显了肌肉如何作为一个主动弹性发动机，通过在各向异性主动固体中自然存在的非互易响应从应变循环中产生工作。我们可以使用肌肉的（与尺寸无关的）最大应变ϵmax）和最大应力σmax估算出最大功率密度P max ≈ σ max ε max ω max。当分子动力学占主导时（D⊥<1， ωmax≈1/τk），肌肉功率不受尺寸限制（Pmax∝LP0）。然而，在主动液压机制下（Da⊥>1， ωmax ≈/ √τkτp），Pmax随尺寸减少（∝1/L），因此较大的生物体可能需要额外的基于弹簧的机制来放大功率输出。进一步的工作需要结合组织尺度的响应、神经控制、Ca2+ 信号传导、惯性负载响应等，以了解本文研究现象的普遍性，并与更宏观的比较生物力学方法连接。除了肌肉外，主动液压的原理可能也适用于其他软收缩系统。例如，大多数现有的软肌肉仿生驱动器的收缩速率受到缓慢扩散驱动信号传播的极大限制，ωmax≈1/L2。我们的工作表明，如果软驱动器是内部触发而非外部触发，那么主动液压可以提供一种替代机制，实现更快的收缩，ωmax≈1/L。实际上，利用本地传感和驱动的这一普遍原理可能是设计更快、更强和更耐用驱动器的关键。
