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研究背景
地图投影是将球面或椭球面等曲面映射到平面上。在这种映射中发生的变化称为失真。我们可以区分距离、曲面和角度的失真。如果一条直线的所有点和所有方向都没有扭曲，我们称之为一条零扭曲的直线或标准直线。如果平行线也是如此，我们称之为标准平行线。这些都是众所周知、普遍接受的定义，但它们经常与正割直线或平行线混淆。
虽然关于区分正割平行线和标准平行线的必要性已经在多个研究中被记录，但由于作者们要么没有意识到，要么没有勇气接受，所以这个问题还需要反复澄清。
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研究过程与结果
之前发表的文章表明，将地图弯曲成圆柱面后的标准平行线图像与正割平行线图像通常不匹配。在本文中，作者证明了不存在等面积、等距或保角圆柱投影，对于这些投影，将地图折叠成圆柱面后标准平行线与正割平行线重合。
另一篇文章则引入了半径为 R、中心位于坐标系原点的球体的地理参数化。此外，作者还定义了地图投影、一般的局部线性比例因子，特别是沿子午线和平行线的局部线性比例因子ℎ 和 𝑘：
其中，地理坐标照例为：
𝑥 和 𝑦是投影平面内矩形 (数学上的右向) 坐标系中一点的坐标。为简单起见，在不失一般性的前提下，本文选择 R = 1。可以写成：
如果在平行线的所有点上 𝑘 = 1 都有效，则无论 ℎ 的值如何，平行线在平行方向上的所有点的失真都为零，即为等距平行线。如果在平行线的所有点上 ℎ = 𝑘 = 1 都有效，那么该平行线在所有点和所有方向上的失真都为零，即它是一条标准平行线。因此，每条标准平行线都是等距映射平行线，但反之一般不成立。
半径为1的球体的圆柱投影的法向方面是由公式𝑥=𝑛𝜆，𝑦=𝑦(𝜑) 定义的映射，其中
是常数，函数 𝑦=𝑦(𝜑) 是连续的、可微的、单调递增的奇函数。对于这样的映射，有第一基本形式的系数：
沿子午线和平行线的局部线性比例系数分别为：
对于沿纬度 𝜑1所对应的等距平行投影的法向圆柱投影，必须满足条件：
或者：
对于沿纬度 𝜑1 所对应的标准平行线的正投影圆柱面投影，ℎ(𝜑1)=1也必须有效，或
假设地图是以正投影圆柱面投影绘制的。将该地图折叠成圆柱面，并用 r 标出该圆柱的半径。放置该圆柱，使其在两条平行线 (𝜑2和-𝜑2，见图1) 上切割单位球面。这两条平行线是正割平行线。
图1. 法向圆柱投影中弯曲成圆柱面的地图，该圆柱面与半径为1的球面相交，𝑟为圆柱半径，v为赤道平面上方的等分线高度。
作为圆柱底面的圆的周长为2𝑟𝜋，同时它等于赤道或投影平面内任何平行线的像的长度，即2𝑛𝜋，因为对于正投影圆柱面来说，𝑥=𝑛𝜆。因此，可以得出𝑟=𝑛。v表示圆柱面与半径为1的球面相交的赤道面以上的高度。
显然，sin𝜑2=𝑣，cos𝜑2=𝑛。可以看出，圆柱的半径和相交平行线的位置只取决于参数𝑛，并且无论函数 𝑦=𝑦(𝜑) 如何，所有圆柱投影都是相同的。现在有一个问题：如果在某个法向圆柱投影中，平行线𝜑1是等距映射的，那么在将该映射折叠到圆柱后，该平行线的像是否与正割平行线重合？
地图上这两条平行线之间的距离是2𝑦(𝜑1)。将地图折叠成圆柱后，这个距离保持不变。那么问题来了，对于任何正投影圆柱面投影来说，是否值得
在上一篇论文中，我们通过几个例子证明了最后一个等式在一般情况下是不成立的。在本文中，证明了这一关系对于任何等面积、等距或保角法向圆柱投影都是无效的。
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研究总结
根据本文的推导，可以得出这样的结论：我们在法向圆柱投影中绘制的地图所弯曲的圆柱半径只取决于方程𝑥=𝑛𝜆中的参数𝑛。这意味着，参数𝑛相同的所有圆柱投影都有相同的正割平行线，位于赤道面上下距离
处。由于各种法向圆柱面投影的标准平行线间距不同，弯曲时的距离保持不变，因此一般不会出现正割平行线和标准平行线匹配的情况。
相反，假设圆柱体的位置使其与球面相交于两条平行线。一旦我们将圆柱体的表面展开成平面，相交的平行线图像之间的间距就不会改变。如果将圆柱体表面展开后，正割平行线变成了标准平行线，那么所有具有相同正割平行线的投影都将具有等间距的标准平行线。当然，事实并非如此。
我们已经证明，不存在等面积、等距或保角圆柱投影的标准平分线和正割平分线重合的情况。标准平分线和正割平分线通常被认为是一致的，但本文表明，关于这些平分线的广为接受的事实是错误的，需要加以修正。这就需要对地图投影教学和研究中的既定习惯采取批判性的方法。当长期形成的习惯已经形成定势时，引入变革总是很困难的，但为了防止地图投影理论中的误解，我们建议避免使用可展开面作为中间面，从而避免使用正割平行线和投影。
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阅读英文原文
原文出自 ISPRS IJGI 期刊
Lapaine, M. Matching Standard and Secant Parallels in Cylindrical Projections. ISPRS Int. J. Geo-Inf. 2023, 12, 63.
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