蒙特卡洛法在培养学生计算思维中的实践探索

　　蒙特卡洛法(又称蒙特卡罗法)作为一种计算方法，是由美国数学家乌拉姆(Ulam S. M.)与美籍匈牙利数学家冯•诺伊曼(von Neumann J.)在20世纪40年代中叶，为研制核武器而提出来的。实际上，该方法的基本思想早就被统计学家所采用。例如，早在17世纪，人们已经探索了根据事件发生的频率来确定概率的方法。

　　信息科技的快速发展使得培养学生的计算思维成为当务之急，而有效途径之一就是引入蒙特卡洛法，本文旨在通过研究和实践，探索蒙特卡洛法在初中信息科技课堂中的教学价值及实施策略。

　　蒙特卡洛法，又称统计模拟法，是一种通过随机抽样和统计模拟来解决问题的计算方法。其基本原理是构建一个与问题解相关的概率模型或随机过程，通过对模型的观察或抽样实验来计算相关参数或数字特征，最终给出问题的近似解。蒙特卡洛法的基本步骤如下。

　　第一，定义问题：明确要求解的问题是什么，并将问题表达为数学模型或规则。

　　第二，设计模拟实验：根据问题的特点设计相应的模拟实验，确定需要产生的随机数，并确定实验样本的数量。

　　第三，产生随机数：利用合适的随机数生成算法，产生满足要求的随机数，以代表问题的不确定性或随机性。

　　第四，进行模拟实验：根据设定的实验样本数量，利用随机数产生的样本数据进行模拟实验，记录相关信息。

　　第五，计算统计量：根据模拟实验的结果，利用相应的统计方法计算所需的统计量，如均值、方差、概率等。

　　第六，得出结论：根据计算得到的统计量，进行相应的分析和解释，得出对问题的解答或结论。

　　第七，检验和改进：对结果进行检验，评估模拟实验的准确性和可靠性，并根据需要进行改进，如增加样本数量、改进随机数生成算法等。

　　通过重复以上步骤，可以不断提高蒙特卡洛法的精度和可靠性。在实际应用中，通常能够得到近似解，但可能需要大量的样本数据和计算时间。

　　一般情况下，蒙特卡洛法的特点是：采样越多，越近似最优解，而永远不是最优解。它与穷举法有所区别：穷举法是按某个特定规则进行搜索，而蒙特卡洛法则是随机搜索，但是两者都属于盲目搜索。

　　蒙特卡洛法是一种基于随机抽样的数值计算方法，计算思维是一种解决问题的思考方式^[1]。虽然蒙特卡洛法是一种具体的计算方法，但它也可以被视为计算思维的一种体现。

　　一方面，蒙特卡洛法通过随机抽样的方式来近似模拟复杂的系统或过程，以获得数值解或概率分布。计算思维强调问题的抽象化和建模，可以将问题转化为数学或计算机可处理的形式，并通过算法和计算方法来求解问题，它的应用通常需要将问题转化为概率模型，并通过随机抽样得到模型的近似解。这就需要具备一种计算思维来将实际问题转化为数学模型，并设计适当的算法和计算方法来进行抽样和统计计算。计算思维可以帮助学生在蒙特卡洛法中理解问题的本质，并设计出更有效的计算策略。另一方面，蒙特卡洛法在解决问题时通常涉及大量的计算和模拟，需要利用计算机进行高效计算，这也体现了计算思维的重要性。计算思维可以帮助学生利用计算机的计算能力设计出高效的算法和程序来实现蒙特卡洛法。

　　总结来说，蒙特卡洛法是一种具体的计算方法，而计算思维是一种解决问题的思考方式，两者相互关联，计算思维可以指导和支持蒙特卡洛法的应用和发展。

　　蒙特卡洛法在初中信息科技教学中具有重要的应用价值。首先，它能够培养学生的计算思维能力和问题解决能力，通过设计相关案例，让学生学会应用蒙特卡洛法解决实际问题。其次，蒙特卡洛法还可以帮助学生理解数学模型，加深对概率和统计的理解，提高数学学科的学习效果。最后，蒙特卡洛法还可以引发学生对信息科技的兴趣，激发学习的主动性和创造性。为了更好地探索蒙特卡洛法在初中信息科技课堂中的应用，本文给出了三个实际案例。

3.1　计算不规则图形的面积

　　通过计算一个不规则图形的面积^[2]，学生通过随机生成点并进行投放，利用投放结果计算出近似面积，通过增加样本点的数量提高面积的准确性。此案例鼓励学生亲自动手实践，旨在培养其计算思维和数据分析能力。以计算“冰墩墩”的面积为例(见图1)。通过增加样本点的数量来引导学生发现结果的变化，最终得出不规则图形占舞台的比例进而得出结论。

图1　通过蒙特卡洛法模拟计算“冰墩墩”面积的程序

3.2　蒙特卡洛法模拟炮击过程^[3]

　　实际问题：敌人在我方前沿阵地区域，以一个炮兵编组(包括2门火炮)对我方进行干扰和破坏。为了避免我方反击，敌人对其指挥所进行了伪装，并经常改变射击位置。经长期观察发现，我方指挥所只能准确指示敌方目标的一半时间。当我方火力单位按照这些指示正确射击时，有1/3的可能性毁伤敌方1门火炮，还有1/6的可能性消灭敌方全部火炮。

　　求解过程：在这个问题中，想要获得我方对敌人实施1000次打击的结果，并确定有效射击的比率以及毁伤敌方火炮的平均值。这是一个涉及概率的问题，可以通过理论计算来得到相应的概率和期望值。然而，这种静态的方法只能给出最终结果，无法展示作战过程的动态。为了展示我方1000次射击的过程，需要进行模拟。模拟的第一个方面是观察指示是否正确，有两种可能的结果，出现的概率都是1/2。因此，可以使用硬币来进行投掷，正面表示指示正确，反面表示指示错误。模拟的第二个方面是射击结果，有3种可能的结果，分别是毁伤1门火炮的概率为1/3， 毁伤2门火炮的概率为1/6，未能击中敌方火炮的概率为1/2。可以使用骰子来决定结果，点数为1、2、3时表示未能击中敌人；点数为4、5时表示毁伤1门火炮；点数为6时表示毁伤2门火炮。通过上述方式，就可把我方1000次射击的过程动态显现出来，如图2所示。

图2　蒙特卡洛法模拟炮击的程序

3.3　模拟赌场问题　用实际结果教育学生远离赌博^[4]

　　实际问题：赌徒和庄家进行赌博，双方每轮抛硬币，如果为正面，赌徒赢，庄家付给赌徒1元；如果为反面，赌徒输，赌徒付给庄家1元。赌徒初始拥有10元赌本，当他的赌本输光时，他将退出赌局。如何模拟这个赌博过程？

　　问题分析：赌徒的赌博结果取决于每次抛硬币的结果，赌博可以看作是一系列实验的随机过程。在每轮赌局中，赢的概率为p=0.5。当赌徒赢时，赌本增加1元；当赌徒输时，赌本减少1元。对于每个赌徒，一旦开始赌博，他最终得到的赌局结果序列是唯一的。为了模拟这个赌博过程，可以使用蒙特卡洛法，以大量的样本来观察赌局结果的整体特征。

　　在本例中，选择10个赌徒作为样本，进行100轮赌局。每个赌徒最多进行100轮赌局，如果他在这个过程中输光了赌本，则提前退出赌局。如果到100轮还有赌本剩余，赌局也会停止。相关代码和结果如图3、图4所示。

图3　模拟的Python代码

图4　运行结果

　　简单分析一下代码和运行结果，其实这段代码中最核心的部分就是：result= random. randint(0,1)。在每场赌局中，首先生成一个随机变量，它在0和1之间等概率选择。这模拟了抛硬币的过程，其中结果为1表示硬币是正面，赌徒赢1元；结果为0表示硬币是反面，赌徒输1元。设定每个赌徒最多进行100轮，如果在100轮内输光，则退场，从而模拟了整个赌博的随机过程。根据运行结果可以发现，在10个赌徒中，有6个赌徒提前输光后退场，剩下的4个赌徒中有3个赚钱、1个亏钱。当然，为了展示所有结果，选择了较小的样本数。然而，蒙特卡洛法要求拥有大样本量，因此将样本数和轮数修改为更大的值，并统计一些指标。将赌徒的总人数设置为100000，轮数设为100(依次修改为100，1000，10000)，以观察整体样本的变化。代码片段如图5所示。

图5　代码片段

　　运行结果如下：

　　当总轮数=100且总人数=100000时，输光赌本提前出局的人数=31148，赌满全场且盈利的人数=44458，赌满全场且亏损的人数=23923。

　　当总轮数=1000且总人数=100000时，输光赌本提前出局的人数=75154，赌满全场且盈利的人数=23441，赌满全场且亏损的人数=1386。

　　当总轮数=10000且总人数=100000时，输光赌本提前出局的人数=91902，赌满全场且盈利的人数=8060，赌满全场且亏损的人数=38。

　　从结果中不难发现，这种和庄家1︰1的对赌，随着轮数的增加，基本上都破产被收割了。换句话说，哪怕庄家不出千、输赢概率各半，赌得越久，输光破产的人越多，其原因是庄家的资金量是趋近于无穷的。以上的举例有助于初中生更好地理解“久赌必输”的道理，从而远离赌博。

　　蒙特卡洛法还可以与ChatGPT进行深度融合。ChatGPT是一种基于人工智能技术的智能对话系统。将蒙特卡洛法与ChatGPT融入基础教育中可以实现如下应用：一是个性化学习，基于蒙特卡洛法可以对学生的学习情况进行模拟和预测，结合ChatGPT可以根据不同学生的实际情况进行个性化的学习推荐和指导，以帮助学生更好地掌握知识。二是智能答疑，蒙特卡洛法可以通过统计模拟和模型训练对常见问题和解答进行预测和优化，结合ChatGPT可以将智能答疑引入基础教育中，帮助学生快速解决问题和提供准确的答案。三是课堂辅助，蒙特卡洛法可以通过模拟和统计分析对教学过程进行优化和改进，结合ChatGPT可以为教师提供实时的课堂辅助，帮助教师更好地调整教学策略和提供反馈，从而提高教学效果。四是学习评估，基于蒙特卡洛法可以对学生的学习效果进行模拟和评估，结合ChatGPT可以为学生提供个性化的学习评估和反馈，帮助学生发现自身的学习差距和问题，并制订相应的学习计划和策略。

　　本文通过探索和实践证明，蒙特卡洛法在初中信息科技课堂教学中具有重要的应用价值。蒙特卡洛法的引入，可以促进学生的计算思维和解决问题的能力提升，增强学生对信息技术的兴趣和学习动力。蒙特卡洛法与计算思维密切相关。计算思维是一种解决问题的思考方式，而蒙特卡洛法是一种具体的计算方法。两者相辅相成，计算思维可以指导和支持蒙特卡洛法的应用和发展。因此，鼓励教师积极探索蒙特卡洛法的应用，为学生的综合素质培养及创新能力提升做出积极贡献。