大老李注：

本文原载于 Recreational Mathematics Magazine, pp. 49-54, DOI 10.2478/rmm-2024-0012。以下是中文译文，文末配有大老李的解释和点评（可以先看）。

不含 1 的数字

作者: Steven T. Kuhn Georgetown University， Washington， DC， USA， kuhns@georgetown.edu

献给 Andrew Vogt

摘要

我们讨论了一些关于如何使数字1不出现的未解问题。

1 引言

本文要讨论的主要问题是多年前在我向一群哲学系学生解释为什么有理数是可数的（countable）时候产生的。我当时想，有什么比用数字 1 替换分子和分母之间的线更形象地将正有理数一一映射到自然数呢？因此，2/3 将映射到 213，3/4 映射到 314。更准确地说，每个有理数 n/m 将被映射到最小的自然数，该自然数可以用 10 进制表示为 ，其中 和 表示数字 和 ，使得 ，并且 或 中没有任何一个数字是 1。

当然，这种技术只有在每个有理数本身都可以不使用数字 1 来表示的情况下才能普遍适用。因此产生了以下问题:

问题 1.1. 对于每一对自然数 和 ，是否存在一个自然数 ，使得 和 都不含数字 1？

让我们称能满足问题 1.1 中条件的数 为 和 的“1-消除乘数”。

满足问题 1.1 的足以证明这种图形映射是可行的，但这并不是必要的。可以想象，存在一个分数 ，它有一个不含 1 的等价“最简形式”，即使 和 没有 1-消除乘数。这就引出了另一个问题:

问题 1.2. 是否存在自然数 、 和 ，使得 和 有 1-消除乘数，但 和 没有?

我无法找到任何反例来否定问题 1.1 的肯定答案，也无法确认问题 1.2 的肯定答案，于是我咨询了我在数学系多才多艺的同事 Andrew Vogt。Andy 和我仔细查阅了文献，当我们发现没有答案时，我们自己研究了一段时间这个问题。我们调查的结果(没有回答上述任何问题)发表在 [KuV92] 中。

在那篇文章发表 30 年后，我还没有听说过对这些问题的任何答案；事实上，[KuV92] 几乎没有引起任何反响。我喜欢认为，这至少部分是因为，在采用我们认为适合“严肃”数学期刊读者和审稿人的语气时，我们从稿件中删除了所有的趣味性和乐趣，包括引发这项研究的动机。现在似乎是时候在更合适的场合和形式下呈现一些这些想法和相关想法了。

2 一些简单的变体

很容易看出，如果我们用 0 作为分隔数字，这种表示有理数的想法就无法实现。例如，1 和 10 没有 0-消除乘数，因为 10 本身没有不含 0 的倍数。此外，问题 1.1 在 3 进制表示法中有否定答案。

观察 2.1. 在 3 进制表示法中，存在没有 1-消除乘数的自然数 和 。

要观察到这一点，我们只需回顾多位数乘法算法。让 是最后一个非零 3 进制数字为 1 的任意数，让 是最后一个非零 3 进制数字为 2 的任意数。现在考虑根据熟悉的算法将 和 都乘以 。如果 的最后一个非零数字是 1，那么 的最后一个非零数字也将是 1(因为 1×1=1)。如果 的最后一个非零数字是 2，那么 的最后一个非零数字将是 1(因为 2×2 在 3 进制表示中是 11，我们输入第二个 1 并“进位”第一个)。

观察 2.1 是 [KuV92] 中结果 2(ii) 的特例:如果 ，其中 为素数，，那么存在集合 ，使得对于任何 ，，... 中至少有一个的最右非零数字为 1。由于 10 不是素数的幂，这个结果对 10 进制没有任何启示。

对于 10 进制，我们可以使用不同的论证至少得到四个数的集合的否定答案。

观察 2.2. 在 10 进制表示法中，存在自然数 a、b、c、d，它们没有 1-消除乘数。

这次的论证依赖于最左边的数字。以 1、2、3、5 作为 a、b、c、d，考虑任何乘数 。如果 以 1 开头，那么 以 1 开头。如果 以 2 开头，那么 是大于或等于 且小于 的整数，其中 是 的位数。所以 d 是大于或等于 且小于 的整数，因此它也必须以 1 开头。同样，如果 以 3 开头，那么 必须大于或等于 且小于 (对于某个 )，所以它也必须以 1 开头;如果 以 4 或 5 开头，那么 必须以 1 开头，如果 以 6、7、8 或 9 开头，那么 必须以 1 开头。

观察 2.2 是 [KuV92] 中结果 1(ii) 的特例:如果 ，那么存在一个集合 ，使得对于任何 ，，...， 中至少有一个在 b 进制表示中的最左边数字为 1。由于 10 进制小于 ，这个结果对解决问题 1.1 没有帮助，该论文中的其他结果也是如此。事实上，它们为以下问题的正面或负面答案留下了空间:

问题 2.3. 是否存在自然数 、、，它们(在 10 进制中)没有 1-消除乘数?

3 单个数字的 1 消除乘数

关于数字性质的研究有着令人惊讶的悠久历史。L.E. Dickson 的权威著作《数论史》([Dik19] pp 453-465)第 XX 章记录了许多早期结果。Dickson 报道(p454)，在 1811-1812 年的《Annales de Gergonne》期刊中，"匿名作者"证明了每个自然数都有一个形如 9...90...0 的整数倍，并且在 1829-30 年 A.L. Crelle 表明这个结果中的数字'9'可以被任何重复的数字序列替换。

这有一个巧妙而简单的证明。让 是任意自然数， 是任意数字序列。现在考虑由 的递增重复表示的 10 进制数字序列，即 ， ，...，直到我们达到 k+1 次重复。这些数中必有两个 相同。它们的差将是 ，即它将是 k 的倍数。情况如下所示:

由于这种特殊形式的数字只占不含 1 的数字的一小部分，我们也许不应该对上述证明找到的 1-消除乘数相当大感到惊讶。即使我们把单独的 2 作为非单位数字的重复序列，1 消除的倍数也必须介于 20(当序列中的前两项是 匹配时得到)和由 个 2 后跟一个 0 表示的数(当第一项和最后一项匹配时得到)之间。随着 k 的增加，后一个数接近但永远不超过，因此 1-消除乘数接近但永远不超过。

让我们称通过比较重复的2找到的的最小消除倍数为的Crelle乘数，刚才给出的上界为的“Crelle界”。图 1 显示了 1 到 25 的数字的最小 1-消除乘数、Crelle 乘数和 Crelle界（后者为显示目的四舍五入到三位有效数字）。

[图 1: 1-25 的 1 消除乘数]

差异是巨大的。表中的每个数字都有 1 或 2 的 1 消除乘数。Crelle 乘数超过 ，Crelle 界超过 。进一步的计算表明，对于更大的数字，差异并没有减小。需要 3 作为 1-消除乘数的最小数是81。(81×1=81; 81×2=162; 81×3=243)。81 的 Crelle 乘数和 Crelle 界都大于 。1 到一千万之间任何数字所需的最大的 1-消除乘数是 49，用于消除 4,580,102 中的 1。()。要在这些范围内找到最大的 Crelle 乘数需要不合理的耐心和计算能力，但仅对于 1 到 1000 之间的数字，Crelle 数就超过了 。¹

所有这些都表明，以下问题必须有一个强有力的肯定答案:

问题 3.1. k 的最小 1-消除乘数是否有比 Crelle 界更小的上界?

4 级别的分布

最小 1-消除乘数的分布很有趣。我们可以将这些视为级别(k 的级别表示从 k 中移除 1 的难度级别)。并非所有数字都是级别。如果 是 的 1-消除乘数，那么 也是。因此，10 的倍数不能是级别。另一方面，我们可以使用最左边数字的论证来证明:

观察 4.1. 没有最大级别。

假设由数字 表示的数 的级别为 。让 d 是 的最左边的数字。考虑由 表示的数，其中内部的 0 串的长度大于( 中的数字数)和( 中的数字数)的乘积， 是：如果 是 1 则为 1；如果 是 2 或 3 则为 5；如果 是 4 或 5 则为 3；如果 是 6、7、8 或 9 则为 2。当 乘以任何小于 的数时，结果将在非前导数字中有一个 1，当它乘以 时，它将有一个 1 作为前导数字。所以 的级别必须大于 。

表 2 显示了 在 1 到 100 之间的最小级别数(我们将其标记为 的最小示例)。

[图 2: 最小示例]

快速检查表格可以发现，除了 10 的倍数，每个小于 100 的数都是小于 的某个数的级别。这引出了以下问题。

问题 4.2. 是否每个不是 10 的倍数的数都是一个级别?

观察 4.1 的论证表明，如果 的级别为 ，那么存在一些小于 的数，其级别大于  。然而，在表格中，级别 的最小示例总是小于紧接前一个级别的最小示例的 11 倍(而且经常小于该示例本身)。这让人想知道级别的"增长率"。特别是:

问题 4.3. 能否找到一个比观察 4.1 的证明中给出的更好的连续级别最小示例之间差距的界限?

参考文献

[Dik19] Dickson， L.E. (1919) 《数论史》，(第 1 卷:可除性和素性)，华盛顿卡内基研究所。

[KuV92] Kuhn， S.， Vogt， A. (1992) '不含 1 的数字' Fibonacci Quarterly， 30 (1)， pp. 48-53。

[Kuh22] Kuhn， S. (2022) 'Numbers-Without-Ones-Revisited'， https://github.com/steven-t-kuhn/Numbers-Without-Ones-Revisited

大老李的注释和点评：

这篇文章的话题很有意思，但因为是翻译稿，有些文字难免拗口。以下先对文中概念进行一些解释。

1-消除乘数：1消除乘数的意思就是，对某个自然数，如果存在另一个自然数，使得的十进制结果中不包含数字1，则b就是a的一个 1-消除乘数。比如：

；；

其结果中都含有1，所以1和2都不是81的 1-消除乘数。而，所以3是81的1-消除乘数，而且是最小的一个。

也可以考虑一组数字的1消除乘数。问题2.3的意思就是：

是否存在一组自然数a，b，c，对任何自然数，使得，，，中至少有一个数字包含1？

这个问题还是未解决的。

而2.2就是证明，存在四个自然数，使得它们没有1-消除乘数，这四个数字的例子就是：1，2，3，5。可以验证，任何自然数乘以这四个数字，其结果至少包含一个1。

第3节主要说明，对任何自然数，都存在1-消除整数。其证明方法很像我之前一篇关于“鸽巢原理”的文章中的一个例题。

表1中第三列的数字是这样来的：

对任何整数，总能构造出如此两个如下形式的自然数：

，即全由2构成的自然数，两个数字位数不同。这两个数字的差的形式是：

，且可以使这个数是的倍数，所以是的1-消除乘数。

比如，表1中6对应的是Crelle Multiplier是370，可以验证：

，

而：，等等。

同时，作者指出了4580102的最小1-消除乘数是49。这意味着：

，，... 中，每个数字都含有1，而不含有1。

第4节中，具体探讨了哪些数字可以成为某个数字的最小1-消除乘数。

表2中，Least_exemplar的意思，该数字的最小1-消除乘数就是Level，并且该数字是符合该性质的所有数字中最小的那个。

4.2就是问：是否所有非10的倍数的数字都是某个数字的最小最小1-消除乘数？

4.3就是问Least exemplar增长率如何。

我感觉这个问题非常有意思，它又是一个小学生能理解，但是仍然包含很多未解命题的问题。问题2.3和4.2都让我有跃跃欲试的感觉，很想编程尝试一下。

最后的感想是，如原作者所说，关于该话题的第一篇论文在1992年就发表了，但是几乎毫无反响。但是，这确实是一个好的课题，尤其适合中学生业余时间研究，这难道不比研究数学分析或者偏微分方程有趣多了？