锁模激光分布模型的四次孤子

四次孤子是在具有Kerr非线性和四阶色散的介质中存在或不存在二阶色散（通常也称为群速度色散的情况下产生的保持形状的脉冲。保守四次孤子存在于负四阶色散，并在20世纪90年代首次被研究。然而，对这些解决方案的兴趣最近有所增加。S. Roy研究了硅基槽波导中的四次孤子，A. Blanco-Redondo在负四阶色散和可忽略的二阶色散的光子晶体波导中观察到类孤子解。Tam等人通过研究非线性Schrödinger方程加上负四阶色散，汇编了包括V. I. Kruglov等人的研究在内的保守模型的先前结果，显示了具有指数衰减尾、纯指数或振荡的孤子的存在区域。2017-2019年，H. Taheri等人在耗散Kerr光腔中研究了四次孤子，2020年，J. Runge展示了以四阶色散为主导的腔色散锁模激光器，开启了耗散四次孤子的篇章。与保守量子点相反，耗散量子点已被证明存在于负和正四阶色散中。

在超短激光应用中，四次孤子的一个优点是它的能量E与时间宽度τ的三次方成反比。这会产生非常有能量的短脉冲。然而，这个能量-脉冲宽度定律应该只对保守量子黑洞普遍有效。事实上，最近关于耗散四次孤子的研究报道了四次孤子激光的两种不同的能量-脉冲宽度关系，Runge等人发现负四阶色散的E∝τ^-3， Qian等人发现正四阶色散的E∝τ³，两者都是通过改变增益饱和能量。这些矛盾的结果可能归因于四阶色散的符号，但需要进一步的研究来确定定律E∝τ^-3是否总是对负四阶色散存在的耗散四次孤子有效。事实上，众所周知，耗散孤子的特性是由方程参数确定的，这一论点在Qian等人的研究中已经被用于锁模激光器中的四次孤子。

这些研究四次孤子激光器的工作采用了集总模型，其优点是对真实激光器的建模更为精确。三次-五次复金兹堡-朗道方程也被广泛应用于被动锁模激光器，其优点是具有较少的参数数量并允许半解析方法。在这两种方法之间，有一种分布式模型，由Zaviyalov等人提出，它不近似于集总模型中存在的可饱和吸收体项。

现在，考虑一个类似于Zaviyalov的研究中的方程。这个方程表示锁模激光器的分布式模型：

脉冲能量也受四阶色散系数的影响较大。从图1(c)可以看出，能量随着|β₄|的增大而增大，当β₄<0时，能量的增长速度更大。图1(d)是在保持其他参数不变的情况下，扫描β₄得到的脉冲能量-宽度关系。一般来说，β₄<0获得的脉冲能量最大，也是最窄的，短至300 fs的脉冲能量接近1.2 nJ。对于负四阶色散，随着脉冲宽度的增加，能量也会急剧下降。相反，正β₄的能量随宽度增加而增加，但速度很慢。因此，在锁模激光腔中利用负四阶色散更有利于在较低的脉冲宽度下获得更高的能量。

四阶色散的标志并不是决定脉冲形状的唯一因素。所有参数都对脉冲的形状、幅度和宽度有一定的影响。图2(a)显示了T₂增长对β₄=-0.08 ps⁴m^-1获得的脉冲形状的影响。T₂=100 fs时(蓝色实线)，脉冲形状与图1(a)中色散值为负四阶色散的脉冲相同。当T₂增加到150 fs，并进一步增加到200 fs(分别为红色虚线和绿色虚线点曲线)时，尾部的振荡开始变平。当T₂=250 fs时，脉冲变成双曲正割形状，对于所有较大的T₂值，在存在平稳解的情况下，保持这种形状。在对数尺度上进一步证明了尾部振荡的扁平化(图2(b))，尾部的振荡变得越来越不明显，直到尾部变成近似直线。在四阶色散阳性的情况下也存在类似的行为。在图2(c)中，考虑β₄=0.08 ps⁴m^-1，g₀=1.48 m^-1，P_sat=80 W，T₂=115 fs，得到一个尾部呈指数衰减的脉冲，如图1(a)所示。将T₂改为200 fs会产生双曲正割型脉冲。图2(d)显示了对数尺度下不同的脉冲形状，在T₂=200 fs时，尾部的衰减速度要快得多。

为了设计能够发射高能脉冲的锁模光纤激光器，研究不同的激光参数对脉冲能量的影响是非常重要的。在图3中，研究人员绘制了β₄<0(分别为图3(a)、3(c)和3(e))和β4>0(分别为图3(b)、3(d)和3(f))与g₀、P_sat和T₂的能量依赖性。图1(c)的结果显示，能量最高的脉冲出现在负四阶色散区。事实上，在负四阶色散的g₀扫描中获得的最高能量大约是正四阶色散的9倍。更引人注目的是T₂扫描的情况，β₄<0时的最高能量比β₄>0时的最高能量大约大3个数量级。同样清楚的是，最高能量出现在较高的g₀值以及较低的P_sat和T₂值。然而，重要的是要注意，仅选择其中一个参数就足以完全改变其他参数允许固定解的范围。例如，在图3(e)中，当饱和功率为3 W时，从T₂=50 fs到T₂>1 ps都可以找到稳定解。然而，通过简单地将P_sat增加到80 W，达到的最大T2值约为140 fs，当考虑P_sat=160 W时，T₂值变为~110 fs(插图)。正四阶色散的使用也使得方程(1)存在的平稳孤子解的有效g₀、P_sat和T₂范围大大缩短。最后，图3还显示，不同参数对输出脉冲能量的影响也有很大不同。例如，当β₄<0时，T₂ ≲ 150 fs的微小变化会导致脉冲能量的剧烈变化，而P_sat的微小增加并不一定会导致非常显著的能量减少。事实上，在图3(e)中，P_sat的变化改变了孤子的稳定范围，但能量的变化不是很显著。

如上所述，四次孤子激光器由于能够产生短宽度的高能量脉冲而引起了人们的兴趣。在分布式模型中，在大多数情况下，能量确实与脉宽三次方成反比，这与先前使用其他模型对该主题的研究一致。图4给出了方程(1)的孤子解的能量宽度关系，图4(a)分别包含了g₀、P_sat和T₂在负四阶色散条件下的扫描结果，而图4(b)则绘制了正四阶色散条件下的相同曲线。有趣的是，大多数负四阶色散的能量-宽度点大致落在同一条曲线上，事实上，这条曲线遵循关系E∝τ^-3(灰色虚线)。例外是P_sat= 3 W时发生的一个分支，而T₂在150 fs以上扫过，其能量随宽度增加。然而，对于正四阶色散，这种关系没有得到验证，Qian等人也没有在研究中预测三次方依赖性。事实上，对β₄>0数据的曲线拟合产生了不同的关系，如图4(b)中的虚线所示，这些虚线是通过将数据拟合到函数aτ^b(其中a和b是拟合系数)而获得的。β₄>0的脉冲不仅具有较低的能量，而且宽得多。在这种情况下，最短和最有能量的脉冲宽度接近1.6 ps，能量接近100 pJ，而β₄<0的脉冲能量在nJ范围内，宽度接近200 fs。

图3中的曲线显示了如何操纵单个参数g₀、P_sat或T₂来获得更高能量的脉冲。这些结果表明，能量随g₀的增加而增加，随P_sat的减少而减少，这很容易解释，因为较高的g₀对应较高的增益，较高的P_sat产生较高的损失。能量与T₂的关系不是单调的，也不容易理解。然而，对于负四阶色散和较小的T₂值(耗散较小)，脉冲遵循保守脉冲的行为，其能量与宽度-3次方成比例(宽度总是随着T₂增加)。尽管如此，重要的是要考虑到稳定解只存在于某个参数区域内。实际上，P_sat的增加意味着可饱和吸收体在更高的功率下饱和，因此，非线性增益降低。对于较高的P_sat值，非线性增益可能不足以抵消其他损失，因此，无法找到孤子解。同样的效应也发生在较低的g₀值，这导致较高的有效饱和功率P_sat'。对于较高的g₀值，线性损耗(-g₀/2+k_oc/2L+δ₀L_SA/2L)趋于零，线性增益会产生不稳定的背景。另一方面，较低的P_sat值会导致非线性增益的急剧增加，而非线性增益会被其他参数不平衡，也会导致不稳定的孤子。

这些分析分别考虑了各参数的影响；然而，脉冲能量的最大化必须考虑到所有这些参数的同时变化。为了更好地理解这些参数的组合导致了短宽度的高能脉冲，寻找了β₂=0 ps²m^-1和β₄=-0.08 ps⁴m^-1的解并计算了g₀-T₂区域的稳定性特征值。图5显示了当P_sat为80 W和160 W时稳定解的能量(对数尺度)和宽度(fs)值作为等高线图。注意，对于固定T₂和P_sat，尽管能量随着g₀的增加而增加，这与图3(b)一致，但较低的g₀值允许解在较低的T₂值下存在并稳定演化且该区域的解能量最高。同样，即使对于固定的T₂和g₀，P_sat的降低有利于更高的能量，如果允许T₂和g₀变化，可以获得更高的P_sat值。对于宽度，如图5(d)和(b)所示，可以看出脉冲宽度随着T₂的减小而减小。作为谱滤波参数的T₂正影响着脉冲形状且正如预期的那样，脉冲宽度始终与T₂同向变化。因此，能量最大的脉冲也是最短的脉冲。事实上，使用T₂=8 fs， g₀=1.3 m^-1和β₄=-0.08 ps⁴m^-1，可以得到能量为391 nJ和能量为39 fs的四次孤子。这些能量值远远大于前人的研究。

总之，研究人员得到了锁模激光分布模型在正负四阶色散存在、负二阶色散存在或不存在时的四次孤子解。激光参数的选择对于孤子的存在和稳定性以及确定孤子的形状至关重要。大多数负四阶色散的分布在其尾部有振荡，而正四阶色散的分布在中心有双曲正割，但坐落在一个较大的基座上。然而，如果考虑更大的光谱滤波T₂，则存在与负和正四阶色散非常相似的分布。研究了不同解的脉冲能量-脉冲宽度关系，发现脉冲能量与脉冲宽度的依赖关系随激光参数的变化而变化。当四阶色散为正时，结果不呈现单一的普遍趋势，而当四阶色散为负时，大部分结果呈现能量正比于宽度的-3次方的趋势。例外的是β₄和T₂的低P_sat扫描，在那里发现了一个非单调的趋势。负四阶色散值和低T₂值的能量最高，脉冲宽度最短。对于如此低的T₂，需要增加P_sat，降低g₀。实际上，对分布式模型的模拟表明，通过在可用增益和饱和功率水平内仔细优化增益带宽和频谱滤波，可以通过四次孤子来解决超越当前能量限制的问题。