只用两天，我和女儿成为了数独高手

文摘 2024-09-20 08:09 北京

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经常有家长问，如何帮助孩子学好数学？这个问题，一两句话还真回答不清楚。不妨换个角度去思考：你希望孩子通过学习数学，收获什么能力？

数学不仅仅是算数，会巧算并不重要，更重要的是逻辑推理的能力。

因此，加强孩子逻辑推理方面的训练，才是关键。

玩数独，其实是一个特别好的方式。既能锻炼逻辑思维，又增强数感与专注力，效益显著。

如果你对数独有兴趣，或者想用玩游戏的方式提高孩子的数学能力，这篇文章总结了玩数独的亲子经验，一定不能错过~

我的大女儿艾莎很喜欢玩数独游戏，于是我花了两天时间学习B站上各种专业教学视频，什么X-Wing, Chain，多宝鱼，各种神奇的策略，我觉得太复杂了，艾莎掌握起来需要太长时间。

于是，我去搜索了一番，找到了一篇来自美国数学家的神奇论文，包含一个简洁而优雅的数独解题策略。仔细研究后发现，给这个策略打个小小的补丁，做些改进，就变得非常通用，可解决一切数独难题。

本文分为三个部分：先对数独做个简介，帮没接触过这款神奇数学游戏的读者扫个盲；然后详细介绍了我和大女儿艾莎的解题策略；最后基于真实的数独题目，详细讲解了我的策略是如何综合运用的。

数独简介

数独的起源，可以追溯到瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的数学概念：拉丁方块（Latin Squares）。

拉丁方块是一种由不重复的符号（一般是数字）填充n x n正方形网格。其每一行和每一列，都包含n种不同的符号，并且每个符号刚好出现一次。

在9 x 9 欧拉方块的基础上，美国自由拼图发明者Howard Garns创造了Sudoku。在每行每列必须包含1到9且不重复的基础上，他增加了一条规则：把整个9 x 9 网格分成 9 个 3 x 3 的小网格，称为宫，要求每个宫里也包含1-9，并且不重复。

1979年，Howard Garns把这个新的游戏规则，发表在一本美国的数学杂志上。不久之后，它在日本受到了广泛的欢迎，并由日本出版商以“数独”为名进行推广，成为一种流行的游戏。

数独的基本玩法是：填充一个9×9的网格，使得每一行、每一列以及每一宫（3×3的子网格）内，都包含1到9的数字，且数字不能重复。这种规则既简单又具有挑战性，使得数独成为全球范围内受欢迎的智力游戏。

如上图书上的9 x 9 网格，填充了81个数字，每一格的数字都在1-9之间，并且每一行，每一列，每一宫里的9个数字都不重复。

我和女儿的数独绝招

在著名的数独在线比赛网站Sudoku.com上，数独的题目分为6个难度：简单，中等，困难，专家，大师，极限。我用了两天时间，基于美国数学家的一篇关于数独的论文（点击文末的“阅读原文”可下载PDF, 标题是：A Pencil-and-Paper Algorithm for Solving Sudoku Puzzles），打上了自己的补丁，最终形成了一套行之有效的策略，经过反复验证，能够在一小时左右解开“极限”级别的数独题目。

整个方法的核心逻辑是：

1 . 标记每个空白格子上可能出现的数字

首先，根据数独的规则，在每个空白格子上标记可能出现的数字。这一步至关重要！因为，如果这一步粗心写错，后来填满多半个网格后，会突然发现冲突，这时候完全不知道自己哪里错了，只能忍痛放弃，从头再来。

我是怎么避免粗心的？答案是我和大女儿艾莎一起玩，填写的时候我们两个人的答案一样才算正确。在第三部分的那个题目，我一开始全都是自己填的，但让艾莎帮我检查，发现了两个严重的错误。要不是她，这篇文章今天就发不出来了。

全填满后，整个9 x 9 的网格大概长这样：

2 . 正式开始解题

打好了基础之后，可重复下列步骤，直到所有方块中的数字都确定。

2.1 寻找数字的唯一归属格

搜寻所有空白格，找出在每一行、每一列或每一宫内，只出现一次的数字，把这个数字填充到该空白格中。

比如在下图的第三宫（右上角的3 x 3 小网格）中，有6个空白格，分别标记有：2378, 279, 2379, 2349, 2789, 289，其中4这个数字只出现在了2349这一格，所以4只能填这里。

2.2 寻找抢占集

抢占集，就是这样的一组n个空白格：它们属于同一行（或同一列，同一宫），把上面标记的数字全部放在一起并去掉重复，刚好有n个数字。

在这种情况下，这n个空白格只能包含这n个数字，且不能重复，于是，在n个空白格所属的这一行，这n个数字也只能出现在这n个空白格中，不可能出现在其他的位置。于是我们可以做什么呢？

当然是，把这n个数字，从同一行的其他空白格的标记中，划掉。

例如在下图中，第一行最左边的三格，它们属于同一行，并且形成了一个包含三个空白格的抢占集，里边的数字是123。于是，我们把第一行第8个格子里标记的238划掉了23，只剩下了8。

此外，这三格还同属于第1宫，也就是左上角的小正方形，一个3 x 3的网格。于是，同一宫里的357, 3579, 25679这三个空白格，也可以把123划掉，变成了57, 579, 5679。

注意，这个抢占集只属于同一行和同一宫，但不属于同一列。所以除了第一行和第一宫的空白格，其他所有的格子的不受影响，其中的123不可以被划掉。

2.3 填充标记唯一数字的空白格，并链式更新空白格标记

根据修改后的标记，填充所有仅剩下唯一数字的空白格，并更新其对应行、列、宫里其他空白格的标记。

循环进行，直到没有网格可填充，也没有标记可修改。

然后回到第1步，重新寻找每个数字的唯一归属格。

例如在上图中，第1行第8格只剩一个数字8后，就应当把8填进去，接下来更新第1行，第8列，以及第3宫中对应的标记，把8划掉。

把上图修改后，得到下图，注意绿色的线，划掉了6个格子里的8：

真实案例综合讲解

1.为空白格加上标记，并寻找行内，列内，宫内的唯一数字，进行填充。

2.找到12，123，23 抢占集，58，58抢占集，以及29、29抢占集，把其对应的宫，行，列内其他的对应数字删掉。比如，12，123，23 抢占集属于第1行和第1宫，所以第1行剩下的6格，以及第1宫剩下的6格，如果标注了1或2或3，就可以划掉，如下图。

3.找到29，29抢占集，所以在第5宫和第4列中，划掉其他空白格标记的2和9。

4.找到了57，79，59抢占集，和29，29抢占集，所以在第1列和第6宫，删掉了空白格标记中相应的数字。

5.找到了58，56，68抢占集，删除了第5行其他单元格中的5。顺带发现了之前漏掉的，标记中只有9的空白格，位于第9行第6列。

6.艾莎找到了左边的579，579，57抢占格，以及第3列，第6行，第7宫中单独的数字4。划掉标记中相应的数字和在，我在第5行第3列收获了一个单独的2。

7.接下来，我每填充一个格子，就出现了新的只有一个数字的格子，循环很多次后，我填完了所有数字，答案如下图左边所示。

数独，是我和艾莎的亲子游戏之一。我们还有很多好玩的游戏，后续我会写文章分享。◈

作者：竹间漪

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