与朋友跟他的孩子一起吃饭。他孩子是7年级，说数学课刚学完无理数和平方根，他觉得有点抽象。
朋友说：“老贾，你给孩子讲一下平方根呗！”
我心里想：怎么可以这样，你也没交学费呀！不过，我想起以前曾向他借过钱，便不好拒绝。于是说：“我只讲讲概念吧！”
预先澄清：我在这里说，朋友叫我给他孩子讲数学，我好像暗示自己数学学得很好似的，那可不是事实。不过，关于平方根，我还是懂一些的嘛。
我不是一直主张，教人科学知识，不可就事论事，而要注意指出有关知识、特别是现在讲的新知识与以前学过的旧知识之间的联系吗？不找我讲就罢了，既然叫我讲，我只会这样讲。至于符不符合大人和孩子的期望，就随它去吧。
于是我从加法开始讲起（那是他六七年前学的东西了吧）：
“求平方根是一种新的运算。你学的第一种运算是什么？是加法。比如，2加5，结果是多少？这就是求2与5的和，是7。
“现在如果问，2加上一个数后，得到7，问，加到2上的那个数是几？也就是，2与谁的和是7？求这个数的运算，就是减法（孩子这时说：“我知道你要说什么了！”）。减法与加法互为逆运算。
“虽然加法与减法看起来很不一样，但是请注意，2加5等于7，和7减2等于5，说的是同一件事，因为，说2比7少5，和说7比2多5，说的是同一件事；这就像，说甲是乙的老公，与说乙是甲的老婆，虽然听上去不一样，但说的是同一件事。你可以把一种说法立即翻译成另一种说法。在数学里，你可以把7减5等于2，立即翻译成2加5等于7，或者反过来。
“乘法与除法的关系也是一样。它们的差别，只是已知什么、求什么的差别。如果已知两个乘数，求它们的乘积，就是乘法，如果已知乘积与其中一个乘数，求另一个乘数，就是除法。求乘积与求商互相是逆运算。
“你们后来又学了乘方运算，乘方运算的结果叫做幂，就像加法的结果叫做和，除法的结果叫做商一样。二次方就是平方，给出一个数，比如3，我们可以算出它的平方的值，是9。1.2的平方，是1.44，负1的平方，是1。
“反过来，假如已知一个数的平方等于16，求这个数，这种运算就叫做开平方，我们把这个数叫做16的平方根，就像把5叫做7与2的差一样。
“你是不是已经听得不耐烦了？刚才是讲运算的概念。现在讲数的概念。它们是紧密联系在一起的。（孩子还在听。他爸爸一直在玩手机。）
“一开始的数，只有1，2，3，4等等，就是我们数东西时用的数。我们把随便两个数相加，发现，在这些数里总有一个数是它们的和，比如，12加9，在1、2、3、4等等这些数里，有一个数，21，正好是12与9的和。
“可是，做减法运算时，出现了新情况。如果我们用7减去4，结果是多少？问7减去4是多少，就是问4加上哪个数等于7？我们发现，在1、2、3、4里，有一个数3，4加上它可以得到7。
“可是，如果我们是用4减去7，结果是多少？也就是，哪个数加上7，可以得到4？我们发现，在1、2、3、4等等（当时这是我们全部的数）里面，找不到这样的数！！！
“这时，在进行减法运算时，我们可以规定，只能用大数减去小数，不能用小数减去大数。我们不能随便从一个数减去另一个数。
“但是，人们不喜欢这样的限制。人们希望，在做减法运算时，不用去操心谁大谁小。为了让任何两个数相减时都能得到答案，人们发明了负数与零（零的发明还有另外的原因）。
“类似的，任何两个整数相乘，总能在整数里找到它们的乘积。除法又不一样。比如，6除以2，结果是多少？也就是，哪个数与2相乘，乘积为6？我们发现，3是这样的数。可是，如果是7除以3，结果是多少？哪个数与3相乘能得到7？我们发现，没有这样的数。为了让除法在任何两个数之间都可以进行（除了除数为零这单独一个例外），人们发明了，或者说，创造了分数。
“整数也可以看成分数，比如3，可以看成1分之3，2分之6，等等。现在，我们手里的数全部都是分数了，有正的，有负的，还有零。零是分子为零的分数。
“给定任何一个分数，计算它的平方，仍然得到分数。我们可以没有障碍地计算任何一个分数的平方。
“可是，反过来，给定一个分数，求它的平方根时，又遇到了新情况。16的平方根是正负4，因为正4和负4的平方都等于16。4分之9的平方根是正负2分之3，因为正2分之3和负2分之3的平方都等于4分之9。
“请注意，我们现在遇到一个以前从未遇到过的情况，我们以前求和、差、积、商和平方时，每种运算的结果都只有一个数，现在，我们求一个数的平方根，比如求16，或者4分之9的平方根，结果每次都得到两个数！这是一定要注意的。许多同学回答16的平方根时，只回答4，就是因为他以前遇到的所有运算，都只得到一个数，像这种一次运算的结果是两个数的情况，还是第一次。
“现在，如果给定的数是2，它的平方根是多少呢？即，哪个分数的平方等于2呢？两千多年前的古希腊人发现，没有哪个分数平方以后能够得到2！
“请注意，他们一直认为，分数就是所有的数了。可是现在发现，没有哪个分数的平方能够等于2，他们还发现了，没有哪个分数的平方能够等于3、5、6、7、8、10、11等等。他们对这一点做出了证明。
“可是，另一方面，根据勾股定理――古希腊人已经证明了勾股定理――有些线段的长度的平方就是2或者3或者5啊，这样的线段是存在的，那么，它们的长度不能用分数表示。
“所以，看来，除了分数，还存在另外的数。后来，人们把这种神秘的数，叫做无理数。中文中的无理数这个称呼，其实是翻译失误（来自日文），不过，名称问题没什么重要的。
“引入无理数的概念后，人们就可以谈论任何一个正数，以及零，的平方根了。每个正数都有两个平方根，0只有一个平方根，是它自己。
“可是，负数的平方根怎么样呢？什么样的数与自身相乘，能得到负数呢？
（孩子说：“任何数的平方都是正数！负数没有平方根！”）
“那样的话，我们在求一个数的平方根的时候，又要去操心这个数是不是负数了，如果是，运算就不能进行。
“数学家很不喜欢这样，日本有一位著名的数学家，为小学生编了一套数学课本，他在序言中说，数学的本质是自由。所以，数学家又发明了，或者说创造了一种数，让它们的平方为负数。
（孩子立刻显得非常好奇：“那是什么数？”）
“你们要到高中才会学它们。不过我可以提前告诉你，你即使学了它们，也还是不知道它们到底是什么，除了它们“平方以后为负数”这一点外。它们就是我们让它们那样的那种数。你看，从求平方到求平方根，我们竟然遇到这么多奇怪的事情！”
