模块一：将军饮马等8类常见最值问题
一、单动点问题
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB'
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
二、双动点问题（作两次对称）
【问题5】在直线L1，L2上分别求点M，N，使△PMN周长最小
问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长
【问题6】P，Q为定点，在直线L1，L2上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
问题解决：分别作点P，Q关于直线L1，L2的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ
【题型1】两定一动型（线段和差最值问题）
【例题1】透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】13
【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
【巩固练习1】如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．
【答案】 16－
【解析】过点E作EH⊥BC于点H．
∵等边△ABC的边长为4，∴∠B＝60°，AC＝4．
由题意， EF＝AE．
设CE＝2x，则EF＝AE＝4－2x，则EH＝．
∵EF≥EH，∴4－2x≥，
解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值为16－．
【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。
“最喜欢你一言不合就打赏的样子”
