上周答案：
239）
一个正整数的平方，如果恰好包含数字0到9各一次，则被称为是“完整”（complete)的。使用计算机，找到最小的完整数。证明完整数不可能是质数。
解答：
首先，很明显，如果 是完全数，我们有 。为了得到所述的结果，我们可以使用以下 Mathematica 程序：
w = { }; Do[If[Sort[IntegerDigits[n^2]] == {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
w = Append[w, n]], {n, 32000, 100000}]; Print[w]
然后我们得到了以下 87 个数字：
32043, 32286, 33144, 35172, 35337, 35757, 35853, 37176, 37905, 38772, 39147, 39336, 40545, 42744, 43902, 44016,
45567, 45624, 46587, 48852, 49314, 49353, 50706, 53976, 54918, 55446, 55524, 55581, 55626, 56532, 57321, 58413,
58455, 58554, 59403, 60984, 61575, 61866, 62679, 62961, 63051, 63129, 65634, 65637, 66105, 66276, 67677, 68763,
68781, 69513, 71433, 72621, 75759, 76047, 76182, 77346, 78072, 78453, 80361, 80445, 81222, 81945, 83919, 84648,
85353, 85743, 85803, 86073, 87639, 88623, 89079, 89145, 89355, 89523, 90144, 90153, 90198, 91248, 91605, 92214,
94695, 95154, 96702, 97779, 98055, 98802, 99066。
因此，仅存在 87 个完全数。最小的完全数是 32043。
至于第二个问题，很容易看出，如果 是完全数，那么根据定义， 的各位数字之和是：
45 是 9 的倍数。因此， 必须是 3 的倍数，所以 不是质数。
275）
证明，存在任意长的连续整数序列，其中的每个一个数都能被某个完全平方数整除。
解答:
考虑以下同余系统：
其中 表示第 个质数。从中国剩余定理可知，这个系统有唯一解：即存在一个整数 ，满足上述 个同余式。因此， 个整数 都可以被一个完全平方数整除，正如所需的那样。
本周题目：
364）
令。在不计算n的确切值的情况下，证明。
（难度：较简单）
422）
设 是一个正整数。找到一个公式，该公式能够显式地揭示对于给定质数 ，唯一的 值，使得：
并利用该公式证明：
（难度：中等）
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
