上周答案：
461）
证明对某算术函数，，且为积性函数（multiplicative），当且仅当，对所有自然数,：
.
其中为,的最大公约数，为,的最小公倍数.
证明
设 是需要证明的等式。令 且 。那么：
以及
如果 是可乘函数，我们有：
令 为满足 的整数。我们考察 及其指数在等式 中的贡献。在等式左侧，其贡献为：
而在等式右侧，其贡献为：
由于这两个量相等，结果成立。
其逆命题是显然的，因为对于 ，我们有 ，且等式给出 ，这意味着 是一个积性函数。
719）
令为某有理数，令为方程的奇数解。证明至少有4个不同的质因子。
证明
假设相反，即 至多有三个不同的素因子。首先考虑正好有三个素因子的情况，设 。那么，由于：
我们有：
这导致了矛盾。因此，从该论证可以明显看出，若假设 恰好有一个素因子或恰好有三个素因子，也会导致矛盾。
本周题目：
767）
证明存在无穷多的正整数，满足。
（难度：较难）
795）
证明如果正整数,,分别是直角三角形的三条边长，其中至少有一个是5的倍数。
（难度：简单）
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
