又到新的一年，到了写总结的时候。这里，我列出我的2024十大数学“发现”。这里的发现既包括我新“发现”的数学成果，也包括我发现的，他人的有意思成果。更多时候，两者兼而有之，因为数学研究永远是需要站在前人的肩膀上的。

以下就是我的十大“发现”，按我个人的喜好程度从低到高排列。

第十名：忙碌海狸函数BB(5)的值被确定

第五个忙碌海狸函数值,BB(5)被确定了，它就是：

这不是我的发现，它是BBChallenge.org^[1]网站成员，集体协作的结果。但该网站参与者之一是看了我的科普文章后，着手研究这个问题的：

着实让人欣慰！

延伸阅读：第5个“忙碌海狸数”的值被确定

第九名：蜂巢填数字谜题的解决

知乎上有人提了这样一个蜂巢填数字谜题^[2]：

在如下的六边形网格中，如何填入从1开始的连续数字，使得相邻两格数字之差的最小值尽可能大？

我使用子图搜索方法，找到了4阶下的最佳填写方法，最大值为11：

虽然，后来发现这个问题早已被解决^[3]，但我的最大收获是了解了一些子图搜索工具：

RI^[4]，VEQ^[5]和Glasgow Subgraph Solver^[6]。

延伸阅读：趣题研究：六边形网格的数字填充

第八名：“最难”版本的猜数字游戏

这个猜数字游戏又名bulls and cows。它的基本玩法是这样的：

电脑产生一个秘密的4位数的数字，每一位的取值都是0到9，四个数字互不相同。由玩家猜测这个数字，每一轮中输入一个4位数，电脑会返回玩家输入的数字中有多少数值和位置都猜中，另有多少数字猜中但位置不对。输出格式一般是：xAyB，表示前者有x个数字，后者有y个。

理论上，使用最佳策略，这个游戏至少需要7轮，可以猜出所有数字。

我则开发了一个“最难”版本的猜数字游戏^[7]：

基本想法是，电脑并不事先产生确定的数字，而是维护一个可能的答案列表。电脑每次总是选择一个回答，使得可能的答案列表保持最长，所以叫做“最难”版本，请你挑战一下！

延伸阅读：Bulls and Cows猜数字游戏的一些简单研究

第七名：汉字可读方阵

这个问题是受高德纳（英语：Donald Ervin Knuth，1938年1月10日—）的一篇文章启发，高德纳曾研究过英语中的单词方阵，即一组字母方阵，使得每一行每一列都是合法的单词，比如：

women
olive
mites
event
nests

我就想到，难道没有人对汉字做过同样事情吗？搞一个成语方阵？于是编程尝试了一下，成语方面，没有特别好的结果，目前我觉得比较好的是这组：

缺点在于意思比较重复。三阶的情形，我得到了一个非常有意思的结果：

其中每一行、每一列都是菜名，而且没有重复！

我在知乎上发出了同样的挑战^[8]，看到这个回答也很有意思：

金口玉音
玉碑石像
文载不书
明道分店

我在这里继续征集答案，把有意思的汉字方阵发给我。

延伸阅读：九个字六道菜——汉字趣味方阵汇编

第六名：“最难”的无周期王氏砖块拼图

2024年看到了一篇关于王氏砖块（Wang Tiles）的论文，确认了，最小的无周期王氏砖块组合为11块。但论文中，我最感兴趣的是这段文字：

意思就是有一组10块的王氏砖块，其最大可以拼出212×212的正方形，但拼不出更大的矩形了。我想：这不就是“最难”的拼图吗？于是找了些资料和软件，找出了这10块砖块的形状：

并且尝试拼出了一个20×20的正方形：

余下的挑战就是看有谁能拼出212×212的正方形了！

延伸阅读：无周期王氏砖块问题介绍 ，无周期王氏砖块文章中的一个更正

第五名：互质合数等差数列

知乎上看到一个问题^[9]：

是否存在任意长的等差数列，其中每一项都是合数，且两两互质。

研究了一下，成功证明以上问题的答案是肯定的。那么一个有意思的问题是：符合以上条件的等差数列中，当公差为1，2，3，...，长度为3时，首项最小的数列是什么样的？答案是：

[25, 26, 27]
[91, 93, 95]
[49, 52, 55]
[77, 81, 85]
[39, 44, 49]
[203, 209, 215]
[25, 32, 39]
[49, 57, 65]
[77, 86, 95]
[123, 133, 143]
[27, 38, 49]
[121, 133, 145]
[9, 22, 35]
[115, 129, 143]
[91, 106, 121]
[33, 49, 65]
[15, 32, 49]
[125, 143, 161]
[25, 44, 63]

另一个问题是，符合以上条件的等差数列中，当公差为3，首项最小的，长度为3，4，5，6...的数列是什么？这个问题比之前的要难很多。我目前找到的一个比较小的，长度为4的数列是：

[7375, 7378, 7381, 7384]

可以继续研究的是，有没有快捷算法计算上述问题？这些数字的大小有无渐进规律？

第四名：新型心形曲线

同样来自知乎问题^[10]：

平面中A,B,C三定点，使得∠ADB-∠BDC为定值的D点轨迹是什么？

直接按题目字面意思，可以写出方程如下：

有意思的点在于，当我把两个角的差值定为π/4，我得到了一条漂亮的心形曲线：

后来我还发现，这条心形曲线可以用如下非常简洁的方程表示：

所以说，美的的东西必有简单的表达！

延伸阅读：一条疑似新型的心形曲线，疑似新型心形曲线的后续

第三名：我提交了一条OEIS序列

还是知乎上看到的问题^[11]：

这个问题看似简单，但最终答案出乎意料的复杂。这里借用知乎另一位答主回答的截图：

这个问题也让我研究了好一阵，并且使我能够提交了第一条OEIS序列^[12]：

非常有收获！

第二名：汉字拉丁方阵

今年我写了篇关于正交拉丁方的科普文章。我忽然想到，能否构造汉字的拉丁方阵呢？要求是方阵中，每行每列的汉字都由相同的偏旁部首组成，但每个字又不相同。

我在知乎上提出这个挑战后^[13]，得到了非常热烈的响应。有编程高手给出了如下的结果：

由此，我也可以构造出汉字数独：

可以继续研究，至少需要几个汉字，可以使以上数独有唯一解。

延伸阅读：汉字数独：汉字与拉丁方的奇妙组合

第一名：4玩家非传递骰子

考虑这样一个问题：有3个玩家，玩掷骰子游戏。是否存在一组骰子，使得任意两个玩家各自挑选一个骰子后，剩下的一个玩家总还能找到一个骰子，其投掷点数大于另两名玩家的骰子的概率都大于50%？也就是，最后选骰子才有优势。

答案是存在的。1986年，荷兰的Oskar van Deventer构造出了这样一组7个骰子：

那么对4玩家，是否存在这样一组类似骰子，使得最后选的人有优势呢？长期以来，这还是开放问题，只知道最少需要19颗这样的骰子。维基百科上至今还把它列为未解决：

2024年底，我看到Nicholas Georgescu的这个github repo^[14]，他找到了一组21颗骰子，可以达成以上目标。

我研究了他的工作，扩展了一下，找到19颗骰子组成的，4玩家非传递骰子。结果放在了这里^[15]。

我把结果交给Georgescu验证了一下^[16]，他确认了我的结果的正确性：

并且把代码简化到3行：

w = (1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17)
n = len(w)*2+1
d = list(zip(*sorted([[(i+j*k)%n+i*n*len(w)+w.index(j)*n for k in range(n)] for i in range(n) for j in w])))

而且，我的代码具有可扩展性，其也可以生成5玩家骰子（需要至少67颗）。关于这个问题，我不久后还会录个视频科普下。这无疑是我2024年（也延伸到了2025年初）的最大发现！

延伸阅读：一组4玩家的非传递骰子

总结

以上就是我的2024年，十大数学“发现”，希望你也能从中发现一些有意思的东西。可以看到，其中有一些看上去很不“正经”的研究，比如汉字方阵，但我却认为非常好玩。而且让我意外的是，居然到现在都没什么人研究汉字方阵，其实这是推广汉字文化的好题材。

让我们多点幽默感，祝大家蛇年大吉！