上周答案：
793）
三条边上分别为5，12，13的三角形，其周长数值恰好等于其面积数值。请找出所有的边长为整数的，且周长数值等于面积数值的三角形。提示：恰好有5个这种三角形。
解答
(Marco Carmosini，加拿大皇后大学，学生数学大会，1999年5月)
如果 和 分别表示一个三角形的周长和面积，那么利用海伦公式
可以得到以下公式：
也就是说：
由于(*)的左边是偶数，所以 或 必定为偶数。显然，如果这三个值中的任意一个是偶数，其余两个也将是偶数。因此存在三个整数 ，使得：
从而：
将这些值代入(*)，可以得到：
接下来分别讨论以下四种情况：
, , , .
情况 ：
我们依次得到：
此时， 的唯一可能取值是 。这些值对应的三角形边长 分别为：
情况 ：
我们有：
此时， 的唯一可能取值是 。这些值对应的三角形边长 分别为：
情况 ：
我们依次得到：因此组合 必须被舍弃，因为 。
情况 ：
接下来考虑 的情形。假设存在解 ，满足 且方程 。我们可以依次得到：
特别地，我们有：因此 ，这是一个矛盾。
总结：
可能的解 为以下五组三元组：
大老李注：
我查找了一下这个问题的3D版本：是否存在一个四面体，其四个面的面积均为整数，且表面积与体积相等？
目前找到与此问题最接近的结论是海伦四面体（Heronian tetrahedron）：所有六条边、四个面和体积均为正数的四面体。目前已证明存在无穷多的海伦四面体，一个例子是这些边长的四面体：(153, 104, 672, 185, 680, 697)。但我没有找到我的问题的答案，有心的读者可以尝试解决。
890）
证明：9239整除
证明
因为，我们有。使用欧拉准则，得到：
因此：
本周题目：
46
已知 个整数 和一个素数 。证明 整除整数 :
当且仅当对所有整数 ，， 整除 。 利用上述结论，求满足 整除 的所有整数 。
(难度：较简单）
153）
是否存在正整数，使得是一个完全平方数，是一个完全立方数，是一个整数的5次方？
（难度：中等）
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
