本周问题：丝带理论
我有许多10厘米、20厘米、40厘米和120厘米长的丝带。要做出50厘米长的丝带，我可以用一条40厘米长的丝带和一条10厘米长的丝带。我还可以用其他多少种方法做出50厘米长的丝带？（只考虑不同长度丝带的组合，而不考虑丝带的排列顺序。）我可以用多少种方法做出80厘米长的丝带？如果我可以将任意一条丝带剪成两半，那么我可以用多少种方法做出80厘米长的丝带？
(来源：New Scientist，BrainTwister #51)
原文：
set by Peter Rowlett
I have a large supply of ribbon in lengths of 10 centimetres, 20 cm, 40 cm and 120 cm.
I could make 50 cm of ribbon by using one 40-cm piece and one 10-cm piece. How many other ways can I make 50 cm of ribbon? (Only the combination of lengths, and not the order of the pieces, matters.)
How many ways can I make 80 cm of ribbon?
If I am allowed to cut any one piece of ribbon in half, how many ways are there now to make 80 cm of ribbon?
上期问题：平方和立方
取两个小于20的正整数。这两个数的平方差是一个完全立方数，而它们的立方差是一个完全平方数。（“完全”意味着平方根或立方根是整数。）
这两个数是什么？
在50到100之间有一个数，你可以将这两个数都乘以这个数，得到另一对具有相同性质的数。这个数是什么？
这个数具有什么性质，使得这种操作可行？你如何利用这个想法找到更多这样的数对？
答案：
这两个数字是6和10。它们平方数的差是10×10 – 6×6=64，也就是。它们立方数的差是10×10×10 – 6×6×6=784，也就是。如果将这两个数字乘以一个既是完全平方数也是完全立方数的数字，那么得出的两个数字也会有同样的规律。任何数字的6次方都既是完全平方数也是完全立方数，因为。符合条件的最小数字是即64，因此(6, 10)乘以64后得到(384, 640)，也有同样规律。
原文:
The pair of numbers is 6 and 10. The difference in their squares, 10×10 – 6×6, is 64, which is . The difference in their cubes, 10×10×10 – 6×6×6, is 784, which is .
If this pair of numbers is multiplied by a number that is both a perfect square and a perfect cube, the resulting pair of numbers will have the same property. Any number raised to the power of 6 is both a perfect square and a perfect cube, as . The smallest such number is or 64, so (6, 10) multiplied by 64 becomes (384, 640), which has the same property.
