上周答案：
364）
令。在不计算n的确切值的情况下，证明。
证明：
令.
因为，且. 由费马小定理即得结论.
422）
设 是一个正整数。找到一个公式，该公式能够显式地揭示对于给定质数 ，唯一的 值，使得：
并利用该公式证明：
解答:
很明显，如果 ，那么 。因此我们可以将搜索限制在 的情形。由于
因此很容易看出
此外，由于 被 2 整除的最高次幂为 0，故有
从而证明了所给的关系式。
本周题目：
461）
证明对某算术函数，，且为积性函数（multiplicative），当且仅当，对所有自然数,：
.
其中为,的最大公约数，为,的最小公倍数.
（难度：中等）
719）
令为某有理数，令为方程的奇数解。证明至少有4个不同的质因子。
（难度：中等）
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
