小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2024-11

文摘 2025-01-19 08:59 加拿大

本月主题：

1. 拓扑学和房性心动过速

2. 热力学线性代数

作者：Tony Phillips（石溪大学数学教授）2025-1-16

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-1-18

1. 拓扑学和房性心动过速

据《循环：心律失常和电生理学》 Circulation: Arrhythmia and Electrophysiology杂志11月5日发表的一篇文章 https://www.ahajournals.org/doi/10.1161/CIRCEP.124.013102 ，拓扑结构可以帮助了解心房扑动（一种心脏跳动过快的疾病） https://my.clevelandclinic.org/health/diseases/22885-atrial-flutter ，并有助于矫正手术计划。

心房扑动（atrial flutter）通常是由称为大折返性房性心动过速的心脏传导网络紊乱引起的。控制心房（心脏的两个上腔室）收缩的电信号发生短路，病理性地加速心跳。

为了了解拓扑的作用，我们需要一些有关心脏和心脏传导网络的信息。

心脏传导网络示意图

心脏的四个心室分别标记为LA、RA（左心房、右心房；心房Atrium）和 LV、RV（左心室和右心室；心室Ventricle）。

心脏的自主神经系统（橙色）由SA（SinoAtrial）窦房结（节点SA）和AV（AtrioVentricular）房室结（节点AV）控制。

激活心脏不同区域的时间（以秒为单位）由绿色箭头和数字表示。

图源：Richard E. Klabunde博士，经许可使用 https://cvphysiology.com/arrhythmias/a003

左右两个心房分别通过静脉从肺部和身体其他部位接收血液。窦房结SA是起起搏器作用的细胞簇 https://cvphysiology.com/arrhythmias/a002 。

一次循环中，窦房结启动一个通过心房传播的去极化波（depolarization wave），使心房收缩并将血液排入心室。

房室结AV是一段组织，它延迟此信号，让血液有时间移动，然后通过标记的路径将其发送到心室，左右心室收缩并通过动脉将血液分别排出到肺和其他身体部位。

去极化（depolarization）和再极化（repolarization，复极化）的传播，通过叠加在心脏正面视图上的颜色显示。

在每个循环中，去极化波（红色）扫过心脏。细胞从静息电位（未突出显示）变为去极化（蓝色），然后再极化（黄色）。

注意SA节点的启动和AV节点的延迟。

图源：Patrick J. Lynch，医学插画家，根据CC BY 2.5使用，来自Wikimedia Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basic_representation_of_cardiac_conduction.gif

这种情形可能出现偏差的一种方式是部分去极化波在一个心房周围再循环，并导致该心房额外快速收缩。这是折返性房性心动过速（reentrant atrial tachycardia，字面意思是心脏加速）的“折返”，是一种潜在的危险状况。

主要作者Mattias Duytschaever及其同事在他们的文章中解释了拓扑分析如何能够对这种病理学和治愈步骤提供有用的描述。

正如上面的去极化波图像所示，心脏传导是一种二维现象。从这个角度来看，心室的功能就像曲面一样。

例如，左心房作为一个曲面，在拓扑上是一个具有三个孔的二维球面（每个肺静脉的两个分支的入口点可能足够接近，因此，就曲面上的传导而言，它们构成了一个孔）。

为了研究传导，左心房是一个有边界的曲面：一个带有三个孔的球面。这些孔对应于右左肺静脉（RPV、LPV，静脉PV，Pulmonary Vein）以及将左心房LA与左心室LV分开的二尖瓣MV（Mitral Valve）。

图源：Tony Phillips

分析的第一步（集中于左心房心动过速）是将传导模式可视化为相位场，为曲面上的每个点分配0和2π之间的角度，表示在一个周期中该点首次受到去极化波冲击的时间。

明确地讲，如果LAT（Local Activation Time）是该点的局部激活时间，TCL（Tachycardia Cycle Length）是心动过速周期长度，则作者将该点的相位定义为 ϕ = 2π LAT/TCL 。

接下来，他们将曲面上某个区域的拓扑电荷TC（Topological Charge）定义为环绕包围该区域的曲线逆时针方向的总相位变化，并将边界分量的拓扑电荷定义为围绕该分量逆时针方向的相位变化。

具有拓扑电荷TC(A)=-1,0,+1的区域A的示例。

我们将每个点与可能相位的圆相关联，并通过以适当的角度为每个点在其圆中分配一条线段来描绘相位场。例如，当A边界上的所有点同时经历去极化时，就会导致拓扑电荷为0：TC(A)=0

图源：Tony Phillips

存在左心房心动过速意味着去极化波在曲面某处绕圈。这意味着必须有一条曲线围绕具有拓扑电荷+1或-1的区域。（曲线内的区域必须包含一个孔或一个不传导波的点，例如一个疤痕。）

作者应用他们所谓的指标定理来断言，还必须存在另一个具有相反拓扑电荷的区域。

指标定理。假设有边界的曲面被曲线分割成区域 A₁, A₂, ⋯, An。如果在整个曲面上定义了相位场，则A₁, A₂, ⋯, An的拓扑电荷，加上边界的拓扑电荷，总和必须为零。

多边形A₁具有顶点x₁, x₂, x₃, x₄, x₅；相邻的多边形A₂具有顶点x₁, x₂, x₆, x₇。

图源：Tony Phillips

证明。假设曲面包括相邻的曲线多边形A₁和A₂，如图所示。A₁的拓扑电荷，即围绕A₁边界的相位场的总旋转，是其沿着x₁x₂、x₂x₃等等这些边始终逆时针移动的旋转之和。类似地，A₂的拓扑电荷是沿边x₂x₁,x₁x₇,x₇x₆,x₆x₂逆时针移动的旋转之和。

请注意，沿x₂x₁的旋转是沿x₁x₂旋转的负值。曲面上的每条边（包括沿边界的边）将对拓扑电荷之和贡献两倍，且符号相反。所以总和一定为零。

作者将“临界边界”（CB，Critical Boundary）称为一条曲线，通常是边界分量，相位场围绕该曲线具有非零旋转。根据指标定理，折返性房性心动过速意味着将有两个CB；在大多数情况下，通过消融（ablation，破坏它们之间的一条曲面带）将一个与另一个连接起来可以重建正常的心律。

该文章包含布鲁日圣约翰医院一项涉及131名患者（其中106名患者患有左心房折返性房性心动过速）的临床研究结果，该研究为这些患者的诊断和治疗提供了信息。

2. “热力学线性代数”

一个振荡弹簧系统可以帮助求解线性方程。这是《自然》新期刊《npj自然伙伴期刊——非传统计算》npj Unconventional Computing（npj，即Nature Partner Journals）11月5日发表的一篇文章的结论 https://www.nature.com/articles/s44335-024-00014-0 。

该文章的八位作者认为，线性代数是许多科学算法的核心，加速其实现将非常有价值。这篇题为“热力学线性代数”的新论文提供了“基于经典热力学以物理为基础的计算范式”。

让我们看看热力学范式是如何工作的。我们专注于求解线性方程组的经典线性代数问题。一维情况非常简单：我们有一个方程ax=b，其解为x=b/a。为了将范式应用于这种情况，我们将构建一个具有势能函数U=½ax²-bx的机械系统。

例如，它可能是具有弹簧常数a的弹簧悬挂在引力场b中的单位质量（如下所示）。我们对系统进行初始撞击，然后等待。该系统没有阻尼，因此它会永远弹跳。但系统将演化到平衡状态，此时平均构型对应于势能函数的最小值，而不管选择的特定初始条件如何。（这是热力学最小能量原理。）U的最小值出现在dU/dx = ax-b = 0，即x=b/a处，这是我们代数问题的解。

该机械系统由悬挂在弹簧常数a的弹簧上的单位质量组成，被重力常数b的重力场向下吸引。

该系统的势能函数U=½ax²-bx绘制在右侧。

当系统达到热力学平衡时，x的测量值将落在以x=b/a为中心的区间（灰色阴影）内。

图源：Tony Phillips

在实践中，该范式应用于大型系统。N个未知数x₁,...,xɴ合并为一个向量𝘅 = (x₁,...,xɴ) ，系数a变为系数(a_{ij})构成的一个N×N矩阵A，常数b变为长度N的向量𝗯 = (b₁,...,bɴ)，并且ax=b 变为矩阵方程A𝘅=𝗯 。

作者解释了我们如何将讨论限制在a_{ij}=a_{ji}，即矩阵是对称的情况。这允许机械实现，其中系数a_{ij}表示xᵢ和xj处单位质量之间的弹簧耦合，而aᵢᵢ是与xᵢ处的质量相关的弹簧常数，向量𝗯表示一个n-元组的“重力场”，每个质量对应一个重力常数bᵢ。

该装置具有势能函数

U(x) = ½𝘅ᵀA𝘅 - 𝗯ᵀ𝘅

推广了½ax²-bx ，其中𝘅被写为列向量，而𝘅ᵀ是其转置（成为行向量）；𝗯和𝗯ᵀ类似。就像一维情况一样，系统被给予初始撞击，当它达到热力学平衡时，坐标的平均值（随时间变化）将给出势能函数最小值的位置。

定位这个最小值涉及与给出x=b/a类似的计算，除了偏导数之外，并且与之前一样，最小值的坐标(x₁,...,xɴ)正是我们开始使用的线性方程组的解。

作者提供了他们的算法图。

求解线性方程组的算法图（以及用于估计逆矩阵的配套算法）。“提取轨迹”（extract trajectory）和“动力学求积分”（integrate dynamics）框代表算法最后的平均过程。