深研学历案｜陈伊妤：二下第三单元《除法的认识》

人教版二年级下册第三单元《除法的初步认识》第二课时《除法的认识》

《数学课程标准（2022年版）》第一学段要求中提出：

内容要求：在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系；探索除法的算理与算法，会简单的整数除法。

学业要求：能描述四则运算的含义，知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是加法的逆运算；能熟练口算表内除法，形成初步的运算能力。

教学提示：在具体情境中，启发学生理解乘法是加法的简便运算，感悟除法是乘法的逆运算。在教学活动中，始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展。

（一）基于教材梳理明确关键问题

1.纵向联系知识体系

《表内除法（一）》是“数与代数”领域中的重要内容，是学生学习整数除法的第一个阶段，也是学生认识除法的起始阶段。从知识的结构和联系上看，它是在学生学习了100以内的加减法、表内乘法的基础上展开的，是四则运算的最后一块拼图，为后续学习两位数除以一位数、除数是两位数的除法、小数除法和分数除法和比的学习打下重要的基础。

结合本册表内除法的整体编排来看，其分为“除法的初步认识”、“除法运算”、“解决问题””三大板块。除法初步认识分两个层次：第一，结合生活实例、活动操作和交流，以语言检阅操作、反映思路、促进思维，让学生在看一看、摆一摆、分一分、说一说的过程中，逐步认识平均分，建立“平均分”的概念。第二，在“平均分”概念的基础上引出除法运算，明确除法就是平均分活动的数学概括，理解除法的含义。再结合情境和操作用除法算式表示平均分的活动，突出平均分的过程和结果与除法算式中各部分的对应关系，最后介绍除法算式中各部分的名称。

本课时让学生通过观察、操作、探讨等学习活动，逐步体会除法运算的意义。这一小节内容其实就是解决三个问题：干什么？——分一分；怎么分？——平均分；怎么表示？——除法。这样的编排，从具体到抽象，让学生在操作、观察和有条理的表达中逐步形成概念，掌握知识，真正实现由感性认识向理性认识的过渡，符合学生认知发展的规律。

2.横向对比教材编排

横向对比三个版本的教材，笔者发现北师大版和苏教版都是把除法的认识安排上二年级上册，把除法的竖式计算和有余数的除法安排在二下，而人教版则是把这些内容全部安排在了二年级下册。值得注意的是北师大版将除法的初步认识分成两个单元，分别在2~5的乘法和6~9的乘法教学之后。苏教版则是把7~9的乘法和除法整合在了一个单元，教材的编排上相较人教版而言加强了乘法和除法之间的联系。在除法的认识内容安排上，人教版和苏教版将“等分”和“包含分”的除法分成两个例题，北师大版则由一个开放性的问题一次性研究了这两类均分情况。所以笔者认为可以将两个例题进行整合教学。

三版教材的编排在除法的学习前都安排了3~4课时的“平均分”的内容，都注意加强了平均分的操作活动，为认识除法积累比较丰富的感性认识；并结合具体情境和平均分的活动，帮助学生充分体会除法的含义。虽然教材编排有所不同但各版本教材都在引导学生理解“平均分可以用除法来计算”。

仔细分析人教版教材，可以存在某些比较割裂的地方：①在第一课时的学习中，除法只介绍了除号和读法，却没有借此机会没有介绍除法各部分的名称和含义。②认识除法的两个例题并没有与相应的乘法解决问题进行关联，从而无法让学生感受到除法实际上是乘法的逆运算，没有实现除法与乘法在数量关系上的结构化，忽视了除法运算与乘法运算的一致性。

基于以上分析，笔者认为本节课关键的问题是：理解除法的含义，体会除法是乘法的逆运算。

（二）基于学情分析敲定关键问题

除法的认识是建立在“平均分”的基础上的，学生通过前面几节课不同程度的分一分的过程，已经有了丰富的直观操作经验，对于平均分有了比较明确的认识。而且学生也已经熟练掌握了乘法口诀，在生活或平常的学习中对于除法算式也有一定的接触。但是学生对于除法算式的具体意义还是不理解的，学生对于除法的认识处在比较朦胧，而又兴趣比较大的阶段。

通过前测和访谈发现学生出现以下水平层次：

（1）能通过画一画，圈一圈解决问题；

（2）能运用加法或减法算式解决问题；

（3）能运用乘法解决问题；

（4）能借助除法解决问题。

大部分孩子能运用画图图来解决这个问题（指向水平（1）），部分同学会用加、减、乘法算式等方法来解决平均分的问题（指向水平（2）（3）），只有很少一部分孩子想到写除法算式，但不能很好地说出除法的含义。本节课需要帮助孩子理解既然原有的知识经验已经能解决平均分的问题，为什么还需要用除法？除法与已经学过的运算之间又有怎么样的关系？教学要立足学生的最近发展区，让学生进行“同化式”的学习，在已有的知识经验的基础上生长出新知。   

因此本节课在关注除法含义的基础上，还要注重沟通四则运算之间的联系， 让学生主动地把除法运算纳入到原有的认知体系中，从而形成完整的运算知识网络。基于以上分析，敲定本节课的关键问题：为什么平均分用除法计算，感受除法与其他运算间的联系。

（三）基于教学路径细化关键问题

基于以上对教材的把握以及对学生水平层次的分析，笔者确认了这节课的教学路径：（1）基于前测，创造新的运算需求；（2）升级运算，理解平均分用除法解决的必要性；（3）多种表征，丰富除法的意义；（4）判断分析，深化理解。

基于以上教学路径，确定了如下关键问题：

关键问题1：在加法、减法算式中，你能看到答案是几盘吗？

关键问题2：算式中20、4和5分别表示什么？

关键问题3：这个除法算式表示什么意思？答案又是怎么想出来的呢？

关键问题4：加减乘除这四则远算，它们之间有着怎样的关系？

关键问题5：这两道题有什么相同和不同的地方？

1.结合具体情境经历从平均分的活动中抽象出除法算式的过程，初步体会除法的意义，认识除号，知道除法算式各部分的名称，掌握除法算式的读法和写法，感受除法运算的抽象性和简便性。

2.通过观察、比较、分析等活动，理解除法和乘法、减法间的联系，构成完整的四则运算体系。

3.渗透模型化思想，体会所学知识的价值。

教学重难点：理解除法的意义，构建四则运算间的联系。

1.完成任务一。（检测目标2）

2.完成任务二。（检测目标1，2，3）

3.完成任务三。（检测目标1，3）

4.完成任务四。（检测目标1，2）

“表内除法”是学生学习除法的开始，在接触“表内除法”前，学生已经系统地学习过“表内乘法”，掌握了乘法的意义，也有过连减、连加的经验，并会用表内乘法解決简单的实际问题，具备了一定的经验和方法。此外，学生在前面学习了平均分，在具体情境中通过画一画等直观形象方式知道如何把物品平均分，为学习本课时除法的相关内容提供了基础。学生对除法意义的理解及对除法的兴趣将直接影响到后面的学习，所以这节课显得尤为重要。

本节课在两个方面做足功夫：

1.运算的一致性。强调四种运算意义之间的内在联系，加法是所有运算的核心和基础，基于加法衍生出了其他计算，减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，感受数的运算本质上的一致性。

2.除法两种模型的一致性。通过演示平均分的过程，让学生充分感知“12里面有几个4”既可以解决等分问题也可以解决包含分问题，将包含除和等分除的内在联系进行统一。

任务一：在前测分析中催生新知（指向目标2）

1. 前测导入

师：课前老师让同学们做了一个小练习，完成的怎么样？我们一起来看看同学的方法。

2.组织交流

（1）画图法

思考：他用了什么方法解决了这个问题？在他画的图上能数出答案吗？

（2）加法和减法

师：但是有些同学觉得画图有点麻烦，他想到了更简便一些的方法，我们一起来看看。

思考（1）：在加法、减法算式中，你能看到答案是几盘吗？

生1：在加法中我能看出有5盘，因为有5个4相加。

生2：在减法中一共减去了5个4，所以也能看出有5盘。

思考（2）：要求能装成几盘，就是求什么？

生：就是求20里面有几个4。

师：这两位同学真厉害，把画图的方法升级成了加法和减法。你们还有别的方法吗？

【设计意图】在教学除法的时候不能仅仅只是教学除法，更应该将除法与已经学过的其他运算联系起来。本环节从学生的作品入手，从画图法升级到加减法，让学生体会算式计算的简便性，为后续乘除法的出现做好铺垫。加减法的算式分析过程也为学生后面理解除法的含义做好准备。

任务二：在方法升级中构建新知（指向目标1，2，3）

1. 感受乘法的简便性，顺向知识迁移

师：想一想，这样的加法算式升级之后会变成什么方法？

生：应该会变成乘法。

思考（1）：5个4相加写怎么成乘法？

思考（2）：在这个乘法算式中，你能看到5盘在哪里吗？

思考（3）：5是怎么想出来的？

生：四（五）二十。

思考（4）：乘法和加法都是“合”的过程，这道题是分还是合？用什么方法更合适？

2.感受除法的简便性，理解除法的意义

师：我们把加法升级成了乘法，想一想减法该怎么升级呢？升级后会变成什么？

生：除法。

师：你会写这个除法算式吗？

思考（1）：算式中20、4和5分别表示什么？

思考（2）：这个除法算式表示什么意思？

生1：有20个竹笋，4个放一盘，能放5盘。

生2:表示求20里面有几个4。

师：意思很清楚了，像这样20个竹笋，每4个放一盘也就是求20里面有几个4就可以直接用除法来计算。

思考（3）：答案又是怎么想出来的呢？

生：想四几等于二十，四五二十所以结果就是5。

师：原来乘法口诀能帮助我们解决除法计算，看来乘法和除法也是密不可分的。同学们真厉害，在不断地升级中学习了一种新的运算方法——除法

3.自学课本

出示课本13～14页的相关知识

思考：关于除法你还知道了什么？

生1：÷叫除号，它比减号多了两个圆点。

师：300多年前，瑞士数学家用一条横线将两个圆点分开表示除，÷表示平均分。

生2：除法各部分的名称分别是被除数，除数和商，和减法各部分的名称非常像。

师：除法和减法的联系也十分密切。

生3：我会读除法算式。

师：你们会读20÷4=5吗？一起来读一读。

4.构建四则运算体系

思考（1）：对比观察这两道算式（除法和减法），你有什么发现？

生：除法的除数就是减法里的相同减数，商表示了减的次数。

生：减法要减5次，除法只需要用除号就表示每次去掉4个的数量。

师：÷既可以表示平均分，也可以表示每次减的同样多。

思考（2）：加减乘除这四则远算，它们之间有着怎样的关系？

反馈1：乘法是加法的简便计算，除法是减法的简便计算。

反馈2：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

反馈3：可以通过乘法口诀来计算除法。

【设计意图】学生基于“同数连加可以写成乘法算式”的经验进行迁移，生成“同数连减可以写成除法算式”的创新意识，为除法的生成寻找到了知识的源头。“加法升级为乘法”的求简体验为学生将“减法升级为除法”提供了心理上的准备，这个过程将四则运算紧密相连，帮助学生构建了完整的运算体系，知道可以用“乘法口诀求商”，为学生计算除法提供了方法上的支撑。既展示了除法算式的形成过程，又揭示了除法的本质意义，还让学生感受了除法的简便性。

任务三：在知识运用中丰富意义（指向任务1,3）

1.辨析除法和减法的不同

师：求15里面有几个5怎样列除法算式？

生：15÷5。

思考：哪些问题是求15里面有几个5，可以用15÷5来解决的？

预设：（1）可以，（2）不可以，（3）有争议。

师：第（2）题也是分一分的情况，为什么不能用15÷5计算？

生1：第2题表示15里面去掉5个，应该用减法计算。

生2：第2题不是平均分，所以不能用除法。

小结：看来判断能不能用除法解决，就是在判断是不是平均分。

2.构建除法中“平均分”的模型

师：第3小题究竟是不是求15里面有几个5呢？大家有不同的想法，不要着急，我们一起来分一分。

请5位同学上台，教师拿出铅笔分一分。

师：15支铅笔平均分给5个人，每人分到几支？可以怎么分？

生1：每人分到3支。

师：你是怎么知道的？

生1：三五十五。

师：你运用乘法口诀马上知道了结果，一下次给每人分了3支。还可以怎么分？

生2：还可以1支1支地分，分完有多，再继续1支1支分，直到没有剩余。

思考（1）：1支1支分，有5个同学，第一次要拿出几支？

思考（2）：一共要分几次？

思考（3）：总共有几支？每人分一支，一次分几支？15里面有几个5？

生：总共有15支，每人分一支，一次分了5支，一共分了3次，15里面有3个5。

师：是的，所以第（3）题也能用15÷5表示。

3.对比联系，实现除法意义的双重建构

思考：题目（1）和（3），这两道题有什么相同和不同的地方？

不同之处：题（1）已知每份是5，求一共分成几份；题（3）已知分成5份，求每份是多少，它们已知的条件是不同的。

相同之处：它们都是把一些物体平均分，虽然分法不同，但是都可以用除法来解决。

小结：15÷5既可以表示把15平均分成5份，又可以表示把15每份5个地分一分，两种平均分的情况都能用除法表示。也就是说相同的一道除法可以表示不同的两种意义。

【设计意图】通过对生活情境的辨析和同类问题的分析，深入理解除法的意义。在两次比较分析中，一是明晰除法和减法之间的不同，完善四则运算的知识网络；二是借助分一分的活动将“平均分”和“包含分”统一起来，让学生明白这也是同数相减，完善对除法的认识，完成除法意义的双重建构。

任务四：在巩固练习中深化理解（指向目标1，2）

把下面的●平均分，并把分法说给同桌听，在写出相应的除法算式。

预设：

思考：观察上面同学的作品，你有什么发现？

汇报交流：

（1）一式两图

生：图①和②除法算式相同，但是分的方法不一样。

思考：这两幅图都可以表示12÷2=6吗？它们分别表示了什么意思？

生1：图①把12个圆圈平均分成2份，每份有6个。

师：原来图①中的2指的是两份，已知平均分成2份，每份是6个。

生2：图②表示12个圆圈分一分，每份2个，能分成这样的6份。

师：虽然分的方法不同，但是都能用12÷2=6表示。

（2）一图两式

生：图①和③画的分的方法一样，写出来的除法算式不同。

思考：这一幅图能用这样两道算式表示吗？它们表示了什么意思？

生：可以，一个表示把12平均分成2份每份6个，一个表示每份6个，12能分成6份。

师：同学们真会思考，从不同的角度观察同一副图，得到了不同的结论。

（3）一图多分

生：图④和前面的分法算式都不同。

小结：平均分的方法不是唯一的，我们要做到全面思考。

【设计意图】这是一道比较开放性的题目，借助点子图分一分、写一写，培养学生数形结合思维。通过观察、比较、分析学生生成的作品，加深学生对除法意义和除法算式各部分含义的理解，培养学生学从不同角度观察、全面思考问题的能力。

1.今天的学习，你有什么收获？

2.你还有什么疑惑？

3.关于除法你还想研究什么？