从“核心概念”出发 感悟“数与运算”一致性

今天我和大家分享的主题是《从“核心概念”出发  感悟“数与运算”一致性》，之所以定这个主题，源于上学期我参与的几节公开课的整个磨课经历，感觉自己对于新课标关于“一致性”的要求好像有了一些感悟，但也还远远不够，所以今天斗胆和大家一起来交流，有不到之处，欢迎大家批评指正。

一、缘起新课标

“一致性”该词在数学新课标中共出现了18次，我提取了其中的几条，通过分析，我们发现，其表述角度和内涵包含这三个方面：

今天，我主要和大家一起来探讨数的概念角度和数的运算角度的一致性。

    新课标把“数与代数”原来的六个主题：数的认识、数的运算、常见的量、探索规律、式与方程、正反比例，调整为“数与运算”和“数量关系”两个主题。

将数的认识与数的运算进行了整合，对数与运算的教学提出了新的要求。加深对数概念的一致性、运算意义的关联性、数与运算的整体性、算理和算法的一致性、运算规律的共通性的教学理解，有助于我们把握新课标精神，引导学生探索运算一致性，促进学生加强知识间的相互联系，从而使学生形成更为整体而结构化的数学知识。

那么数与运算，包括整数，小数，分数，还包括加减乘除。这么庞大的内容，怎么去体现一致性呢？

二、数的概念一致性

首先我们来看数的概念。数概念的重点在于理解数的意义，学生要经历由数量到数的抽象过程，理解和掌握数概念，初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，来形成数感和符号意识。

数是对数量的抽象，不管是整数，小数，分数，它们都是对数量的抽象。

数是多少个计数单位的表达，整数小数和分数都可以从计数单位和计数单位的个数这个角度来认识。整数，小数，分数都是表达了多少个这样的计数单位。

2/3的意义是什么？从分数的意义角度看：把一个整体（单位1）平均分成3份，表示这样的2份。也可以从单位的角度来认识：2/3就是1这个单位平均分成了3份，表示了2份，这是1这个单位的细分的结果；2/3还可以看成是2个1/3的累加。既可以从单位的细分，也可以从单位的累加这个维度来认识数。

数是多少个单位的表达，一是打通“数域”之间关联，二是架起了“数与运算”的桥梁。

课例：人教版四年级下册《小数的意义》

下面，我结合人教版四年级下册第四单元《小数的意义》这节课，具体谈一谈在教学过程中，如何渗透数的概念的“一致性”教学。

1.单元整体知识结构分析

新课标确定了核心素养导向的课程目标，强调课程内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。因此，我们从本单元的知识结构入手。

小数的意义这个单元由6个知识点组成，其中核心概念课，即小数的意义，这节课的教学显得尤为关键。

小数的读写，重点是理解小数的组成。小数的读和写，涉及到的是小数的计数单位与计数单位的个数。

小数点移动引起小数大小的变化，又涉及到了计数单位和计数单位的个数，计数单位变了，但计数单位的个数没有变。

小数的性质和大小比较，小数与单位换算以及近似数，它们都是涉及到了小数的计数单位及单位的个数。由此可见，多个知识点聚焦了小数的计数单位。

2.教材分析

《小数的意义》是四年级下册第四单元第一课时的内容，它是在三年级“分数的初步认识”和“小数的初步认识”的基础上进行学习的，是系统学习小数的开始，是进一步理解小数四则运算法则、小数加减法计算、学习小数乘除法的基础。

小数的实质是十进制的反向延伸，如果以“1”为基本单位，向大延伸是“满十进一”，向小延伸则是“退一当十”。人教版教材通过在测量过程中不能用整数表示时产生了小数，借助米尺图，分层引出“十分之几、百分之几、千分之几”。通过长度单位之间的换算，让学生理解十分之几可以表示成一位小数，百分之几可以表示成两位小数，千分之几可以表示成三位小数。从而沟通小数与分数之间的关系，掌握小数计数单位之间的进率。        

3.学情分析

学生对于小数有一定的认识，在生活中也经常接触，有一定的生活经验，但大部分学生对小数的认识停留在以往整数概念的认识上，关注的是小数的外在形式。由于小数是特殊的十进制分数的特殊表现形式，学生对小数的意义的理解有一定困难。本课学生的认知难点在于：学生对于小数是特定分数的另一种表现形式理解不到位，对小数计数单位之间的进率不能正确理解和掌握。

通过分析可以看出，融合了数位、计数单位及计数单位之间关系这几大元素的“数位顺序表”将是解决问题的关键，这就是学生新知学习的生长点。于是，以“计数单位”为核心概念，以“整数”学习经验作为方法支撑，以“数位顺序表”为思维工具，从以下三个方面进行一致性教学。

    确定了本节课的核心概念是计数单位，通过数计数单位这一方法突破学生的认知难点：小数是特定分数的另一种表现形式，打通整数、小数和分数的概念一致性。

4.课例分享

    导入时，通过华老师——数是数出来的。快速入课，通过数引出一（个）是最基本的计数单位，把一这个计数单位不断累加就会形成新的计数单位，追问有没有最大的计数单位，顺势提出“有没有比1更小的计数单位”？一方面迅速锁定计数单位这个核心概念，另一方面，通过数计数单位回顾了十进制，但不着重强调，重在让学生感悟。

       接下来采取了和课本上一样的处理方法，借助长度单位探究小数的计数单位，我不在赘述。前两天在洛阳参加培训时，有一位专家也分享了这一课例，导入环节非常精彩，我深有感触，也和大家分享一下。

借助小棒这一学生非常熟悉的场景，快速引入两个核心概念，“计数单位”和“计数单位”的个数。

延续小棒的情境，引入比1更小的计数单位进行探究，简洁明了，快而准，在这个过程中将计数单位可视化，为接下来的探究提供了依据。

认识数的关键是理解数的建构方法，事实上，所有数都是基于计数单位来建构的。对比这两个导入设计，都能快速指向核心概念“计数单位”，但专家的这节课从入课开始就把计数单位的个数和“计数单位”同时叫响，和“数是数出来的”这句话遥相呼应，突出了数的本质。小数计数单位是整数计数单位的自然延伸，小数的产生是自然而然的。

回归到我的这节课中来。借助直尺及长度单位，强调“细分”计数单位这一过程，在分的过程中不断渗透十进制，通过数小数计数单位的个数以及分数计数单位的个数，体会小数及分数之间的联系。

把2放在不同的数位上，可以表示不同数的大小，体会位值制。小数是“十进分数”的另一种表示形式，这里的“分数”只是一个描述计数单位的工具，“十进”（或“十分”）才是本质。小数是基于十进分数定义的，具有十进位制的特点，可以与整数一起构成一个完整的位值制系统。

探究完十分之一、百分之一、千分之一后，借助数形结合的方法，再次呈现计数单位1细分的过程，体会比1更小的计数单位是怎样产生的，紧接着呈现计数单位百分之一不断累加后，又会形成更大的计数单位。与导入时的数数环节相呼应。

最基本的计数单位1向左不断累加会形成更大的计数单位，向右不断细分会形成更小的计数单位，将整数与小数的概念一致性打通。

从这个图中，我们看到了整数，小数，分数，数概念之间的关联，我们能够通过沟通整数，小数之间的关系，来建立数的整体结构，感受数的本质的一致性。

每一个整数或小数的大小，不仅取决于表示它的数字符号，还取决于这些数字符号所在的位置值，即它的计数单位。计数单位是构造数的共同基础，整数、小数、分数都可以看作计数单位的“组装”，认识数的核心在于认识计数单位，计数单位的统领作用是数概念的一致性所在。

三、数与运算一致性

“数”与“运算”之间的联系。数的概念是数的运算的基础，数的运算是数的概念的再应用”，数的表达与运算方法的具有一致性。

1.数与运算的整体性

数与运算密切相关，数失去运算也就没有意义了。事实上，通过计数单位的累加和细分来认识数的过程中，就已经进行了运算。

整数、小数的表达有赖于记数符号和位值概念，任何一个整数或小数都是不同计数单位的数相加的结果，而每一个位置上的数又都是该数字值与其位置值的积，如个位上的3是3×1的积，十位上的3是3×10的积，十分位上的3是3×0.1的积。因此，整数或小数的认识离不开运算。同样，任何一个分数也都可以看作由几个分数单位相加得到的，如3/5是3个1/5相加的结果。

整数、小数的加减法本质上是相同计数单位的数的累加与递减；分数相加减时，从分数的意义出发，需要统一分数单位。因此，无论是整数、小数还是分数的认识，都与运算密不可分。

学习四则运算必须通过理解算理达到掌握算法，而对算理的理解必须依据对数的意义和运算意义的理解，就像整数、小数和分数相加减，都要归结为相同计数单位（分数单位）上的数相加减。让学生从数的意义和计数单位的视角理解算理，建立起概念性知识和程序性知识的联系，有助于他们形成整体性的知识结构。

2.加减法运算的一致性

在小学数学四则运算中，整数加减法强调相同数位对齐，小数加减法强调小数点对齐，分数加减法则强调分母相同才能直接相加减。其算理在于，整数、小数、分数的四则运算本质上都是对计数单位进行运算，加减法表现为对计数单位的累加或递减。

整数加减运算，就是将每一个数按照计数单位进行分解，然后相同计数单位上的数字相加减。分数相加减时，需要先统一分数单位：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先化成同分母的分数，再相加减。可见，分数相加减，均是“相同计数单位上的数字相加减”，这与整数运算保持了一致。

小数加减法的算理、算法既可以基于整数的算理、算法，也可以基于分数的算理、算法，这充分显示了小数的“两栖性”。无论基于整数加减，还是基于分数加减，均是“相同计数单位上的数字相加减”。

综上所述，加减法运算的一致性体现为：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。

在六年级下册教学《数的运算》这节课时，我们就是通过这样的竖式对比的方法，重在对计数单位及计数单位个数的探究，使学生直观感知到加减法运算的一致性。

3. 乘法运算的一致性

相信大家在很多地方已经看到过用这样的拆解方法来探究整数、小数、分数乘法的运算一致性了，在这样的拆解过程中使用到了运算律。我们可以发现，整数乘法运算要进行两类运算：计数单位与计数单位相乘（这两个计数单位可以一样、可以不一样），从而得到新的计数单位；计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘，得到新的计数单位上的新的数字。

综上所述，乘法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘。

我们在六年级《数与运算》这节课的呈现时，运用了数形结合的方法，目的在于让学生直观感知到计数单位和计数单位相乘，得到了新的计数单位，计数单位的个数和计数单位的个数相乘，得到了新的计数单位的个数，让算理可视化。

4.除法运算的一致性

关于除法运算的一致性，一直是我比较困惑的地方，如果有分享的不到我的地方，希望在座的各位老师提出自己的宝贵意见意见。

整数除法

如图所示，是“两位数除以一位数的笔算除法，首位不能整除的情况”，利用小棒直观辅助教学，使学生能够清晰地观察到“1个十”细分为“10个一”的过程，初步启发学生对高级计数单位细分方法的认识。

小数除法

在列竖式计算86÷4时，如图所示。

余数2不够除4怎么办？为了解决这个问题，可以在余数2的后面添“0”，继续进行除法运算。余数2表示2个一。在其后面添加1个“0”，可以将2个“一”看作20个“0.1”。用20个0.1除以4，商是5个0.1，即0.5。为了正确表述结果，需要在21的后面点上小数点，再写5。

如图，解决86除以4，除数是整数的小数除法运算，通过小棒直观演示1这个计数单位继续往下细分，在余数2后面添加1个“0”，表示将2个一转化成20个0.1，也就是把计数单位“一”细分成10个“0.1”。这种将“高级计数单位”细分成“低级计数单位”的做法，确保了小数除法运算的顺利进行。这与整数除法具有一致性。

分数除法

由于7/8和3/5的分母不同，所以可以先通分，把7/8÷3/5转化为“35/40÷24/40”，这就相当于求“35个1/40是24个1/40的几倍”，通过计算35÷24得出商。

对于异分母分数的除法，可以先通分，将它们转化成同分母分数再相除。在这一过程中，对被除数和除数的计数单位进行细分是关键。

将7个“1/8”和3个“1/5”细分成35个“1/40”和24个“1/40”，当它们的计数单位相同时，分子相除的结果即为异分母分数相除的商。

与算法相沟通：上述过程可以表示为等式：

由此，得出分数除法的计算法则：除以一个不等于0的数，就等于乘这个数的倒数。

通过分小棒的直观演示，让学生看到计数单位不断细分后，两数相除的商既可以用整数表示，也可以用小数表示。在“分数除以分数运算”的教学中，同样借助形的直观，让学生看到从计数单位细分的角度出发，可以解释分数除法的计算法则。通过对三类除法计算题共性的归纳，让学生理解计数单位细分是推进除法运算的关键，从而构建除法运算一致性的结构。

5.四则运算的一致性

史宁中教授指出：数的建构与数的运算都是基于计数单位进行的，所有的运算都是相同计数单位个数的变化。

在教学时，借助数轴回顾加减乘除四则运算的本质，理解加、减、乘、除运算意义之间的联系，感悟加法是计数单位个数的合并，减法是计数单位个数的拆分，乘法是计数单位个数的累加，除法则是计数单位个数的递减。因此，运算一致性的核心内容就是计数单位。

体会减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算，所有运算都可以还原为加法，加法运算是所有运算的基础，而“计数单位”在打通四则运算一致性的过程中起到了至关重要的作用。

6.运算律角度感悟一致性

探究运算的一致性时，我们将数拆分成不同计数单位的数的和或积，然后再依据运算律进行运算，这一过程与运算律是密不可分的。实际教学过程中，通过图中这种数形结合的方式，感悟数的运算一致性，形成整体性的知识结构。

新课标颁布后，课程内容进行结构化整合，在“数与运算”这个主题下，沟通了数的概念与数的运算之间的关联，有助于学生从整体上理解数与运算的知识和方法，感悟数与运算之间的密切联系，体会数的运算本质上的一致性，也将促进学生数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养的提升。

来源：

梁晓 灵宝市一小数学名师工作室