关于作者（微信号 cdmath-pku）：北京大学数学科学学院博士，高中阶段获得中国数学奥林匹克（CMO）金牌，入选国家集训队，培养过各水平阶段的竞赛选手。
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写在前面
这道几何题实际由两个子问题拼接而成, 拆开之后, 第一个子问题可以在导角发现等腰梯形的前提下直接对切线长进行简单计算 (有不少同学已经指出它与 IMO 2006 预选题 几何 P4 的关系, 这里不再赘述); 第二个子问题由 联想到鸡爪定理, 此后各种导角观察计算 (其中有很多垂直与平行的关系), 方法众多, 其中若延长 交 于, 则可产生较简洁的纯几何解答过程. 下面的解析中, 我们对两个子问题分开作图.
2024 CMO P2
如图, 在 中, 是内心, 分别是 的中点. 点 在线段 上,满足, 的内切圆与 分别切于点. 是 的外心, 是 的外接圆, 与 分 别再次交于点. 求证: 三线共点.
分析
如果对题目中的点线元素进行归类, 例如将 视为最基本的点, 则会发现整道题目可以分成两条支线: 一条支线是产生 的内切圆, 进而产生切点 及切线; 另一条支线是产生 (与鸡爪定理相关) 以及, 进而依次产生 和. 在两条支线中, 我们分别研究直线 与 的交点, 希望说明两点重合, 为此只须说明. 这样使用同一法, 好处是只须在两条支线中分别刻画 和 的长度, 即分别解决两个较简单的子问题即可, 问题结构也清晰明朗. 此时 这条水平线段作为 的中位线, 较易研究.
在研究第一个子问题时, 最终发现, 即 是 的中位线, 于是由 是 的中位线知 实际上是 中点, 即三线共点于 与 的交点. 当然, 如果图画得准确, 观察力较好, 也可在一开始即猜测三线共点的位置.
另外, 第一个子问题与 IMO 2006 预选题几何 P4 的关系, 已有不少人指出, 此处不再赘述.
解析
设 分别交 于, 只须证明.
首先,, 故 是等腰梯形, 从而
故 是 的中位线, 是 中点.
其次, 由, 可知, 且由鸡爪定理的逆定理, 知 为 外接圆与直线 的交点, 从而. 因此 是 的直径, 故. 延长 交 于, 连接. 导角知
结合 即 是直角三角形, 知 为其斜边 的中点. 又因 与 都垂直于, 故, 从而 是平行四边形, 平行且等于, 从而平行且等于, 这说明 是平行四边形, 作为对角线 的中点也应该是 的中点.
综上, 是 中点, 即 均交 于 中点. 得证.
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