整数 .初始时，在数轴的若干整点上分布着只蚂蚁，每个时刻，若某个整点有至少只蚂蚁，则其中的只会向右前进格，其中，为可以相同的非整数.这里，向右前进格等价于向左前进格.证明：无论蚂蚁初始时如何分布，所有蚂蚁最终一定会停下当且仅当 不全同号.
Fig1. 先自己思考再看是好习惯.
分析：
显然本题分为两部分.
先说构造，我们还是简单从小情况出发，例如 的情况，我们能自然给出循环的构造:继续考虑、等情况，我们自然能发现时的构造.接下来，能否从的时候提炼出构造的规律是关键. 一般地，对于 ，构造为
Fig 2. 的会循环的初始分布.
但是我这个构造被张騄怒骂不好说明，所以换成了下面解答中的说法.
再说证明，面对“xx操作一定会停止”，大概率还是先寻找一个单调变化的量.这里，最远的两只蚂蚁的距离显然是一个好的抓手（因为这一定程度上刻画了蚂蚁的“分散程度”，which is符合直觉的，也能区分出 至 是否全同号）.至于如何把这件事情写清楚，就是做组合题的“肌肉”了.
证明：
先证明必要性.
实际上，若 全同号，不妨 .我们说明，如果初始时，在 处分别有 只蚂蚁，则所有蚂蚁会一直运动下去.
我们下对 用数学归纳法证明： 处一定会在某个时刻有至少 只蚂蚁.
时显然.
下设 时命题成立且 .
当 时，
根据归纳假设， 处每个位置都会在某个时刻有k只蚂蚁，从而一定有k只蚂蚁分别移动到了处.而直到处有k只蚂蚁之前，处的蚂蚁不会减少，从而处一定会在某个时刻有至少 只蚂蚁，符合归纳假设！
故，所有蚂蚁会一直运动下去.
必要性证毕.
再证充分性.
对于给定的 我们用数学归纳法对初始的蚂蚁总数 归纳证明：蚂蚁一定会在给定的有限步内停止移动.
时，结论显然.
假设 时，蚂蚁至多需要移动 次后便停止移动.
我们说，当 时，蚂蚁至多需要移动 次移动后停止移动， 其中， |
注意到，如果将这若干只蚂蚁在每个整点的数量视为一个 进制数的每一位数， 则这个 进制数会在每一次操作后变大.
所以，经过 次移动后，最远的两只蚂蚁的距离至少为 ，则根据抽屉原理，这 只蚂蚁至少有两只相邻（即，它们间无其他蚂蚁）蚂蚁的距离至少为 ，这实际上将所有蚂蚁分成了左、右两部分，这两只蚂蚁分属一部分.
注意到，这两部分蚂蚁在移动不超过 次时，彼此不影响.而根据归纳假设，这两部分的蚂蚁分别至多移动 次后便停止移动，故这些蚂蚁会在再移动 次移动后停止移动，符合归纳假设！
充分性证毕.
综上所述，原命题成立.
p.s. 本题显著改编于二维的类似题目，出处忘记了.
作者介绍
于睿元，七年数学竞赛教学经验，明诚外国语学校首届竞赛班教练之一，首届实验班数学老师.曾在北京省队做省队培训.在北斗学友、学为、学大伟业等机构做全国竞赛讲座，曾任三帆中学、十一学校分校、济南天山实验学校等学校外聘竞赛教练.多次在《中等数学》发表文章与模拟题.多次参与全国数学竞赛命题研讨会并发言.四年杜克大学数学竞赛中国区学术负责人，负责命题、讲座等.为学而思与爱尖子等机构与比赛提供竞赛试题.
一些说明
总而言之还是打算重新捡起来做一做公众号，一方面似乎是职业生涯一条可选的发展路径，另一方面确实写写东西还挺有意思的.
目前大体没什么计划，未来大约写一个卡特兰数相对比较长的专题，然后写一些原创题、赛题、杂题之类的，不过大约还是想写什么写什么，以计数组合与竞赛组合为主.会努力讲好一个问题是如何思考与分析得到而非单纯写解答.
阅读人群大约还是数学竞赛教练以及那些想在组合上进步的同学吧，原则上来说至少基本计数原理、各类基础方法如归纳、染色、抽屉、算两次等基本掌握，至少已经是冲刺一等奖水平再来阅读是比较有价值的.
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