数学家大卫·贝西斯（David Bessis）声称，每个人都有能力进行数学思维，并且可以从数学思维中受益匪浅。
图源：Laurence Geai | Quanta
作者：Kelsey Houston-Edwards（量子杂志特约作家）2024-11-18 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-11-23 |
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大卫·贝西斯（David Bessis）被数学所吸引，与许多人被数学吓跑的原因相同：不明白数学是如何运作的。与其他创造性过程不同，比如创作可以听到的音乐，或者画出可以看到的图画，数学在很大程度上是一个内部过程，隐藏在视野之外。“这有点神奇。我很感兴趣，”他说。
他的好奇心最终促使他于1990年代末前往巴黎狄德罗大学攻读数学博士学位。他在接下来的十年里研究几何群论，然后于2010年离开数学研究并创立了一家机器学习初创公司。
自始至终，他从未停止过质疑数学到底意味着什么。贝西斯并不满足于简单地解题。他想进一步探究并帮助其他人理解数学家如何思考和实践他们的技艺。
2022年，他出版了自己的答案——一本名为《数学：直觉与好奇心的秘密世界》（Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity）的书，他说，他希望这本书能够“解释数学爱好者的大脑内部正在发生什么”。但更重要的是，他补充道，“这是一本关于人类内心体验的书。”今年早些时候，它从法语原文翻译成了英语。
在这本书中，贝西斯提出了一个颇具挑衅性的主张：无论你是否意识到，你都在不断地做数学——而且你有能力将你的数学能力扩展得远远超出你的想象。贝西斯认为，像比尔（威廉）·瑟斯顿（William Thurston，1946 - 2012）和亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）这样的杰出数学家的数学能力并不归功于内秉天赋。相反，他们之所以成为如此强大的数学家，是因为他们愿意不断质疑和完善自己的直觉。他们提出新的想法，然后使用逻辑和语言来测试和改进它们。
然而，贝西斯认为，学校传授数学的方式强调这一过程中基于逻辑的部分，而更重要的元素应是直觉。数学应该被视为两者之间的对话：理性与本能之间、语言与抽象之间。这也是一种身体练习，就像瑜伽或武术一样——可以通过训练来提高。它需要进入孩子般的状态并拥抱自己的想象力，包括随之而来的错误。
贝西斯在他的公寓前
图源：Laurence Geai | Quanta
贝西斯说，每个人都对这个过程有一些经验，这意味着每个人都具有像数学家一样思考的实践。此外，每个人都可以而且应该尝试提高他们的数学思维——不一定是为了解决数学问题，而是作为一种通用的自助技术。
量子杂志与贝西斯讨论了数学家在“做数学”时真正在做什么，以及数学作为一种自助形式意味着什么。为了清晰起见，采访内容已经过精简和编辑。
你为什么写这本书？
大约20年来，我多次尝试写它，但都失败了。然后在2020年，我重读了很久以前读过的文字——数学家勒内·笛卡尔（René Descartes，1596 - 1650）、亚历山大·格罗滕迪克和威廉·瑟斯顿的叙述。我意识到这三个彼此没有联系的人都在以不同的方式讲述同一个故事。这个故事与我一直以来的生活产生了共鸣。意识到这一点后，这本书在几周内就完全成形了。
我们从笛卡尔、格罗滕迪克和瑟斯顿身上可以学到的是，数学过程的本质并不是人们想象的那样。
贝西斯在玩乐高、积木和其它玩具
贝西斯说，数学的核心是直觉与逻辑、本能与理性之间的来回游戏。
图源：Laurence Geai | Quanta
人们怎么看？
数学就是一张纸上的一堆神秘符号。这就是几千年来一直被宣传为数学的东西，因为这就是人们所看到的。但整个过程——你如何处理头脑中的事物，数学如何改变你——都是秘密。这不是课程的一部分。
数学是这些外部和内部过程之间的一种对话。它是将你的内在表征——你的直觉——与某种逻辑的、外在的表征相结合的活动。你用一种非常僵化、看起来疯狂的形式主义来测试你的直觉，重新校准、成长和强化它，直到你觉得你对某件事有了很好的理解。
你声称每个人都在偷偷地做数学，即使他们没有意识到。
你必须强行让他们意识到自己的数学训练。你能在脑海中看到一个圆圈吗？你能把它变大、变小吗？你能把它移动一下吗？这很奇怪，你知道的。
贝西斯在巴黎蓬皮杜（Pompidou）中心
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或者说我问：“十亿减一等于多少？”我从来没有遇到过脑海里没有立即浮现答案的人。当我想大声说出来时，我必须思考一下，但我在脑海中看到了它。我想大多数人都是这样的。即使他们没有看到它——这不是视觉感知——他们对结果有强烈的感觉。
这确实是数学直觉。这对人们来说是显而易见的。但这也是历史性的：2000年前，没有人能够轻松回答这个问题，因为他们使用罗马数字。
你认为非常简单的数学实际上已被证明是你已经内化的深层数学。你学习了一个非常抽象的编号系统，它改变了你对数字的直觉。它让你明显地发现2000年前会让你看起来像爱因斯坦的事情。这个本领不是固有的。是你自己塑造出来的。
那么你相信数学天才的说法吗？
否认有人在数学方面非常出色，这是不诚实的。有些5岁的孩子就已经是天才数学家了。你可以发现：看起来他们正在与来自外太空的外星人进行交流。
但我不认为这是与生俱来的，尽管它经常表现在童年早期。天才并不是本质。这是一种状态。这是一种通过完成某项工作而建立的状态。
数学是一段旅程。这是关于可塑性的。我并不是说数学很容易。数学很难。但生活，无论你做什么，都是极其艰难的。
贝西斯的灵感来自比尔·瑟斯顿、亚历山大·格罗滕迪克和勒内·笛卡尔等数学巨匠的实践。
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如果不是天性，而是一个过程，这是否意味着通过练习我最终可以像瑟斯顿一样做数学？
不，我不认为能做到像瑟斯顿那样。但也许你能给我惊喜。瑟斯顿详细讲述了他年轻时如何决定每天进行这种自我教育。我不认为你能赶上那样的状态。格罗滕迪克和笛卡尔可能很小的时候就开始了，甚至在他们开口说话之前。
我想说的一点是，高中生常常对数学不满意，因为他们认为数学需要一些他们不具备的与生俱来的东西。但事实并非如此。实际上，它依赖于我们每天使用的同一种直觉。
那么如何才能提高数学成绩呢？
每当你发现直觉告诉你的信息与理性的信息之间存在脱节时，这就是了解新事物的重要机会。然后你就可以开始这个来来回回的游戏了。你能清楚地表达你的直觉并将其置于理性讨论中吗？如果仍然存在脱节，你能想象出原因吗？当你玩这个游戏时，你的想象力会逐渐重新配置。最后，如果你坚持不懈，你的直觉和理性就会一致，你就会变得更聪明。这就是数学思维。
通过提高数学思维，人们可以获得什么？
快乐、清晰和自信。
孩子们总是这样做。这就是为什么他们学得这么快。他们必须这样做。否则，我的意思是，一切都没有意义。我想这也是婴儿超级快乐的原因——因为他们整天都在顿悟。太棒了。
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对于成年人来说，这种思维方式可能会非常缓慢。但如果你不放弃，你凭直觉所能做的事情将远远超出你最疯狂的期望。而这是普遍的。我的书是所有有创造力的人的人生课程，而不仅仅是那些想学习数学概念的人。数学家向所有人传达的信息是：如果你不放弃直觉，看看你能做什么。
你认为这是一本自助书吗？
我实际上比仅仅说这是一本自助书更极端。我的意思是，在某种程度上，数学本身就是一种自助技术。
此话怎讲？
数学家必须对他们不理解的内容和他们的想法非常诚实。例如，这可能会帮助他们发现某个对象的定义方式是错误的。或者不同的定义将使理论变得更简单。或者说这个不是重要的概念，那个才是重要的。
诚实、极度坦诚、试图找到表达自己真实感受的方法——这非常困难。这需要练习。
当你做数学时，你会以一种非常纯粹的方式接触到人类的思维过程，”贝西斯说。“这不仅仅是理解事物，而是以一种非常孩子般的、深沉的、天真的、超级清晰、明显的方式理解事物。这是非常好的创造力训练。它是你想象力的支架。
当我审视自己的生活以及如何克服个人挑战的方式时，我意识到以数学方式思考的能力会有所帮助。从情感的角度来看，我们都需要数学。
参考资料 |
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https://www.quantamagazine.org/mathematical-thinking-isnt-what-you-think-it-is-20241118/
小乐数学科普：数学能拯救你的灵魂吗？——James Propp教授专栏
