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如图,与圆相切,, 在圆及其内部有一点,, 求的最大值.
在郭老师公众号上看到这题. 👈️ 我们先介绍如下性质. 如下图，直线外有一点, 点在一条平行于的直线上，直线交直线 于点. 直线交直线 于点. 若
则有
证明: 记直线交直线 于点. 由于直线与直线平行, 故
因此. 代入题目条件中有
注意到
代入整理可得
由于与共线且与不共线，因此只能有, 得证.
说明：的值只与直线与直线的位置有关. 当点在直线上运动时，的和保持不变，因此直线有时候又叫做等和线.
回到原题. 本题要求的最大值. 因此只要找到一条平行于直线、与直线在点同侧、距离直线最远且与圆有公共点的直线. 记延长线与圆交于点, 过点的切线就是使得最大的等和线.
取, 记交于点, 因此
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