关于作者（微信号 cdmath-pku）：北京大学数学科学学院博士，高中阶段获得中国数学奥林匹克（CMO）金牌，入选国家集训队，培养过各水平阶段的竞赛选手。
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写在前面
不少同学表示, 昨天第一题虽然想法很直观 (数列不断在 上下振荡, 其中在 下方的部分逐渐减, 然后突然回归到之前的某个状态), 但其严谨过程并不易写. 此外, 这一条件是否有用? 何时有用? 其作用是什么? 本文对其进行详细探讨, 并给出放宽条件后的详细证明 (放宽条件后的证明过程, 主要多了这样一部分: 如果数列最终会变成常数即周期, 那么无论怎样更换首项, 数列最终都会变成常数即周期).
当然, 这一严谨证明过程未必是最简洁的, 如果有同学有更好的版本, 欢迎在留言区指出.
2024 CMO P1
设无理数, 整数. 整数列 满足, 且对正整数,
求证:
(1) 最终周期.
(2) 最终的最小正周期是一个与 无关的奇数.
分析
本题条件:整数, 可以保证原数列最终不会变成常数 (最小正周期为), 从而使解析简化. 若将这一条件放宽为:整数, 结论仍成立, 只是解答过程需要研究最小正周期 和 两种情况, 其中最小正周期 这种情况需要用到 是整数这一条件.
但是,假如原题中并没有 是整数列的条件, 递推式仍能确保数列从第二项起都是整数, 但首项 可能不是整数. 此时,整数 的下界必须保证是
这样才能保证原数列最终不会变成常数 (最小正周期为), 即原数列只能是在 上下不停地振荡, 其周期振荡的情况可完全由 决定, 从而最小正周期与 无关. 假如上述关于 的下界不成立, 我们可以构造两个不同的数列, 一个是以非整数 开始 (其中 是一个很小的正数), 另一个是以整数 开始, 使得前一个数列最终是常数列 (最小正周期是), 后一个数列是周期振荡数列 (最小正周期是严格大于 的奇数), 这时结论所说的最小正周期与 无关就不能成立了.
例如取, 则要求, 即要求. 若, 则当 时, 数列为 而当 时, 数列为 两个数列的最小正周期不同.
又例如取, 则要求, 即要求. 若, 则当 时, 数列为 而当 时, 可得数列 两个数列的最小正周期不同.
解析
我们将整数 这一条件放宽为整数.
(1) 首先, 只要某一项大于, 则由递推式知, 下一项必严格减小, 且是整数, 故有限次减小后必不大于. 设首次不大于 的项是,, 则 均不大于 (否则设其中首个大于 的是, 则因, 只可能是, 此递推式的使用条件是, 从而, 矛盾!).
因此 是有上界 的非负整数列, 故由抽屉原理, 必存在某两项 与 相等 (), 于是由递推式, 与 相等, 依此类推. 因此 必是 的一个正整数周期.
(2) 以下只在 中讨论.
(I) 若每个周期内, 都有大于 的项, 则由 (1) 中首句的讨论知, 也有不大于 的项 (因此不是常数列). 在取值不大于 且取值最大的项中, 任取一个, 则, 而, 故 (否则由 将得 是常数列, 矛盾!), 由 取值的最大性知. 这样,, 其中
(第一个不等式用到了 无理), 因此. 然后,,, ... 这里 逐次减 且均不大于, 由递推式知 亦不增, 有限次之后将首次出现不大于 的情况, 即, 其中. 因为, 但由 及 的最大性知, 故 必相等于,, ..., 即 之一, 设相等于, 则 意味着 (奇数) 是一个周期. 因此最小正周期作为 的约数, 也是奇数.
进一步地, 注意
于是可得
结合 及 不是整数 (因 无理) 易知, 该项的取值完全由 决定, 而与 无关. 的取值及递推式 (仅与 有关) 决定了后续的每一项的取值; 特别地, 它决定了从 开始的无穷数列的周期振荡情况. 因此最小正周期只与 有关, 与 无关.
(II) 若每个周期内, 所有项均不大于, 结合递推式, 知 不减, 但又因周期性, 故为常数列, 从而最小正周期是. 设这个常数列的取值为, 即 为数列的一个不动点.
下面证明, 这时 的取值满足这样一种特性: 无论如何改变 的取值, 都不可能产生不一样的最小正周期, 从而知道最小正周期只与 有关, 与 无关.
首先, 任意非负整数, 它是数列的不动点当且仅当, 即, 即. 因此, 特别地,. 设原数列最后一个非 项为, 它只可能大于 (否则 也是不动点, 其下一项不可能是), 并且由递推式知必须是 (即) 这种情况, 且. 于是
由上式可见 也是不动点.
假如存在原数列首项 的另一种取值方式, 使得修改后的新数列最终的最小正周期不是, 则这个新数列可化归为 (I) 的情况, 由 (I) 中的讨论知, 最终这个新数列中必有一项是, 因此它是不动点, 导致这个新数列的最小正周期是, 矛盾! 故原数列首项 无论取什么值, 最小正周期都是 (奇数), 与 的具体取值无关.
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