题目：△ABC为一个锐角三角形，其垂心为H，M为线段BC上一点，通过M且垂直于BC的直线分别与BH和CH相交于点P和Q.证明：三角形HPQ的垂心位于直线AM上.这是2024年墨西哥数学奥林匹克第2天第2题，为联赛第一题难度.鸣谢学军中学文渊校区龙崎钢老师在“久霖竞赛田”微信公众号给出的翻译.
分析：直接证明三角形HPQ的垂心在直线AM上较为困难，但我们可以换一个角度考虑，先过H作BC的平行线和AM交于K点，再证明K为三角形HPQ的垂心，则只需要证明PK⊥HQ即PK∥AB即可.题目的结构很适合导比例.
证明：过H作HK∥BC交AM于K，连接PK.即有HK⊥PQ.
则只需证明：K为△HPQ的垂心，只需证明：PK⊥HQ，即PK∥AB.
延长AH交BC于D，则
(BN/NP)=(BN/NH)*(HN/NP)=(BM/HK)*(AN/MN)=(BM/MN)*(AN/HK)=(HK/NK)*(AN/HK)=(AN/NK)
所以AB∥PK，所以PK⊥HQ
即K为△PHQ的垂心.
即三角形HPQ的垂心位于直线AM上.
