关于作者（微信号 cdmath-pku）：北京大学数学科学学院博士，高中阶段获得中国数学奥林匹克（CMO）金牌，入选国家集训队，培养过各水平阶段的竞赛选手。
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写在前面
研究较小情况, 逐步细致处理.
亚太数学奥林匹克 2024 P3
设 是正整数, 是正实数, 求证:
分析
显然 取等.
进一步地, 若尝试直接归纳, 则 到 的过渡是
但此式未必成立. 因此如果要归纳, 需要对相应的命题进行变形或加强.
又若尝试将右侧 移到左边, 并使用加权均值不等式, 则有
然而
也未必成立.
如果整体的初步尝试遇到阻碍, 我们可以取较小的 , 做更精细的观察和尝试.
取 , 不等式即
右式关于 对称, 左式第二项是 次方形式, 第三项是常数, 考虑将这两项用均值放缩, 使其变为 次方形式, 与左式第一项构成对称. 具体地, 由均值不等式,
故只须再证明
而这是熟知不等式
可以通分展开证明.
再取 , 不等式即
类似地, 考虑先将左式第三项与第四项用均值放缩, 从而只须证明更强的
希望继续将现在的左式第二项与第三项放缩成 , 这样便能与第一项使用熟知不等式, 放缩成最终的右式了. 为此, 我们希望
这看起来是前述熟知不等式的一种推广:
这一推广若能成功 (事实上确实成功, 因为易看出它是幂平均不等式应用在熟知不等式上的结果), 那么我们就可以通过逐步放缩, 证明原不等式.
这种逐步放缩也可以写成裂项求和的形式:
解析
【引理】对任意正数 及正整数 , 有
【引理的证明】由幂平均不等式易知左式不小于
因此只须再证明
通分整理为 , 显然成立.
回到原题. 将引理的左式第二项移到右边, 并令 , , , 得
(其中 时定义 ), 于是对 求和即得
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