傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法，且在各个领域都有着广泛的应用。本文主要对傅里叶变换的相关内容进行简单介绍，并引入了小波变换和希尔伯特变换的相关内容。
一、时域和频域
通常试验采集到的信号都是随时间变化的，基于这样的信号进行的分析称为时域分析法。而对于一些有时间变化规律的信号，当用频率来描述时更为高效方便，因此就出现了横轴为频率的描述信号的方法，称为频域分析法。
与信号的时域相比，进行频谱计算的优点如图1所示。其中，左图是信号的时域，看起来是部分随机，波形以一定的规律重复。右图显示的是频谱，给出了频率和幅值的信息或是左图四个正弦时间信号的RMS值。可见，频率分析可以揭示信号部分的源头。
变速器的振动和噪声谱中包含了源于齿轮、轴承等部件产生的噪声，噪声的幅值反应了传动部分的机械状态。对于故障诊断来说，频谱分析是一个很有用的工具。
连接时域和频域的工具之一就是傅里叶分析，其通常又可分为傅里叶级数和傅里叶变换，下面将分别进行介绍。
二、傅里叶级数
所谓的傅里叶级数就是将一个复杂的函数展开成三角级数，也就是通过三角函数及常数项来叠加逼近一个周期为T的函数。又利用欧拉公式可以将三角函数转化为指数形式，因此傅里叶级数的表达式如图2所示：
根据这个特性，任何时域上的周期函数都可以看作是不同振幅、不同相位正弦波的叠加。以正弦波函数叠加逼近方波函数的示意图如图3所示。
其中，左上角为基频波形，右上角为叠加了3次谐波的波形，左下角为基频加3次谐波及5次谐波的波形，右下角为基频加3次谐波及5次谐波和7次谐波的波形。可见，叠加的谐波成分越多，波形就越像方波。当叠加足够多的谐波时就可近似得到方波了。
这些叠加的正弦波就是频域中的频率分量。其中，频率最低的分量是频域的基本单元，例如当正弦波cos(ω0t)为基础时，则频域的基本单元即为ω0。除此之外，傅里叶级数叠加中还存在一个0频率，它是一个周期无限长的正弦波，也称为直流分量，但它仅影响全部波形相对于纵轴整体向上或向下的位置，而不改变波的形状。
三、傅里叶变换
傅里叶级数是针对周期函数的，当处理非周期函数时，就需要傅里叶变换。因为非周期信号可以看成是信号的周期趋于无穷大，所以傅里叶变换实际是对傅里叶级数的扩展。
傅里叶变换的表达式如图4所示：
常见的几种傅里叶变换包括离散傅里叶变换、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、细化的快速傅里叶变换和短时傅里叶变换等。
其中，离散傅里叶变换（DFT: Discrete Fourier Transform）是在一段有限长的离散信号中，找到其含有的各个频率的正弦波分量，其在时域、频域上均是离散的。由于计算量太大，很难对问题进行实时处理，所以并未得到真正地应用；
连续傅里叶变换（CFT: Continuous Fourier Transform）是离散傅里叶变换的一种扩展，相比于离散傅里叶变换，连续傅里叶变换具有更高的分辨率，可以准确地捕捉信号的频率特性；
快速傅里叶变换（FFT: Fast Fourier Transform）是利用计算机进行离散傅里叶变换的统称，特点是高效、快速；
细化的快速傅立叶变换即ZoomFFT，又称为选带快速傅立叶变换，可以对信号的频率进行局部细化放大，使感兴趣的频带获得较高的频率分辨率。具体的步骤包括：频移、低通滤波、重采样、频谱重组、细化频谱等。
此外，还有傅里叶逆变换（IFFT: Inverse Fast Fourier Transform）。傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程。但通常不是对一个信号做傅里叶变换后直接做逆变换，而是在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量滤除，然后再做逆变换，从而得到想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率去除，然后再做傅里叶逆变换，即可得到没有噪声的信号。
傅里叶变换是一种全局变换，时域信号在经过傅里叶变换后，就变成了频域信号，不过从经过变换后的频域中却无法看到时域的信息。
但对于非稳态信号来说，时域信息也很重要。如图5所示，两个扫频信号在时域上的表现是相反的，且都是非平稳信号，但其频谱图却是相同的，无法从中得到每个频率分量出现的时间。
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生的缺陷，它只能获取一段信号总体上包含的频率成分，但对各成分出现的时刻一无所知。所以，两个时域相差很大的信号，频谱图可能一样。
然而平稳信号多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的。对于非平稳信号，只知道频率成分是不够的，还需要知道各个成分出现的时间以及各个时刻的瞬时频率及其幅值，这就是时频分析。
四、短时傅里叶变换
短时傅里叶变换（STFT: Short-time Fourier Transform）在时域和频域都有一定的分辨率，且在全局范围内其时频分辨率都是一样的。它采用的是滑动窗口机制，通过设定窗口的大小和步长，让窗口在时域信号上滑动，分别计算每个窗口的傅里叶变换，从而形成不同时间窗口对应的频域信号，拼接起来就是频率随时间变换的时频信号。
短时傅里叶变换可以用于非稳态信号的处理，是为非平稳信号引入的时频分析方法，它将信号的时域和频域联系起来，可以得到非平稳信号的时变特性。通俗地讲，短时傅里叶变换是把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再对小过程进行傅里叶变换，从而可以得到不同时间点上的频率成分。
但短时傅里叶变换也存在一定的缺陷，如图6所示。
可见，窗太窄时，窗内的信号太短，会导致频率分析不够准确，即频率分辨率差；窗太宽时，时域上又不够精细，即时间分辨率差。所以，窄窗口对应的时间分辨率高、频率分辨率低；宽窗口对应的时间分辨率低、频率分辨率高。
对于时变的非稳态信号，高频适合窄窗口，低频适合宽窗口。然而短时傅里叶变换的窗口是固定的，在一次变换中宽度不会变化，所以其还是无法满足非稳态信号变化频率的需求。由此引入了小波变换。
五、小波变换
小波变换的出发点和短时傅里叶变换(STFT)不同。STFT先给信号加窗，再分段做FFT；而小波变换则直接更换了基函数，即将傅里叶中无限长的三角函数基换成了有限长经过衰减处理的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到频率出现的时间。小波基函数在时域和频域上都是局部化的，傅里叶变换和小波变换的基函数对比如图7所示。
小波变换有两个变量：尺度(scale)和平移量(translation)。其中，尺度控制小波函数的伸缩，对应频率的反比；平移量控制小波函数的平移，对应时间。
小波基通过平移、伸缩，不仅可以知道信号的频率成分，还可以得到它在时域上存在的具体位置。所以小波变换得到是一个时频谱。
小波变换在不同时间和频率上具有不同尺寸的时频窗，可以在低频区域实现较高的频率分辨率，然而其仍然受到海森堡(Heisenberg)不确定原理的限制，不能在时间分辨率和频率分辨率上同时具有很高的精度。同时小波变换的时频窗并非完全是自适应的，它还需要人为地选择基函数。
六、希尔伯特变换
希尔伯特变换(HT: Hilbert Transform)是傅里叶变换的一种扩展，其可以用于信号的调制解调，或对信号进行时频分析。其中，在时频分析领域，希尔伯特变换主要用于瞬时频率的估计。
由希尔伯特谱可以得到信号的时频特征，且有很高的时间分辨率，但是信号边界处的误差往往较大。所以，希尔伯特谱并不能概括出信号的时频特征，尤其是多频率成分的信号，更是不能直接进行希尔伯特变换。因此，还需要对原始信号进行分解，做成单频率信号的叠加，这就是希尔伯特黄变换中的EMD分解。
相比于希尔伯特变换，希尔伯特-黄变换(HHT: Hilbert Huang Transform)增加了经验模态分解(EMD: Empirical Mode Decomposition)，EMD就是把复杂信号分解成从高频到低频的若干个固有模态函数(IMF: Intrinsic Mode Function)，IMF需要满足两个条件：
1、信号极值点的数量与零点数相等或相差为1；
2、信号由极大值定义的上包络和由极小值定义的下包络的局部均值为0（即包络上下对称）。
通俗地讲，EMD是依次提取信号在每个局部的最高频分量的过程，因此每个IMF实际上是一个单频率分量信号。然后再对每个IMF分量进行Hilbert变换，从而得到每个分量的Hilbert谱。
HHT的不足之处在于其关键步骤EMD分解的研究尚不完善，缺乏一些理论基础。另外，HHT在低频区域可能会出现一些不存在的频率分量。
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