NVH中的几个常见概念

本文主要对NVH中的几个常见概念进行简单介绍，包括传递函数和频响函数、机械阻抗与导纳、幅频特性与相频特性等内容。

一、传递函数和频响函数

首先介绍下傅氏变换和拉氏变换。

傅里叶级数可将周期函数分解为有限个正弦函数的叠加，傅里叶变换则将傅里叶级数的正弦分解推广到非周期情况，本质是为函数寻找其频域的组成部分。

傅里叶变换的公式如图1第一个公式所示。

由于有些函数不能进行傅里叶变换，即不收敛。因此，引入了衰减因子e^-σt，然后再进行积分，过程如图1中间两公式所示。

上式用拉普拉斯形式表示即为图1最后一个公式。

其中，s=σ+jω。可见，拉普拉斯变换是傅里叶变换的延伸，而傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例，这就是二者在数学上的联系。需要说明的是，当σ为正值时，e^-σt为衰减因子；当σ为负值时，e^-σt为增幅因子。

 当以图形表示时，傅里叶变换如图2所示（仅用作示意）。其中，经傅里叶变换后得到的蓝色曲线关于纵轴是对称的。

由于拉普拉斯变换中的s是复数，所以拉氏变换的图形不是平面的，而是三维立体的，如图3所示（仅用作示意）。

可见，σ不同，得到的L(s)就不同，但给定一个σ值，就会对应一个切片似的坐标系。因此，从图形上能更清晰地理解拉氏变换与傅氏变换的关系。

接下来引入传递函数和频响函数的概念。

传递函数表示的是输出与输入之比，由拉普拉斯变换得到；频响函数是传递函数的一个特例，表示的是响应与激励之比，由傅里叶变换得到。

传递函数定义为线性时不变系统在零状态时，响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比，零状态即激励之前结构处于的静止状态。表达式如下：

H(s)=R(s)/E(s)

频响函数则是由传递函数推导得来，也就是对于稳定的线性定常系统，σ=0，则s=jω，即得到频响函数，表达式如下：

H(jω)=R(jω)/E(jω)

通俗地讲，由于一些增长信号或不稳定系统不满足傅里叶变换的收敛条件，使得傅氏变换的应用受到了限制。为此，拉普拉斯变换引入了衰减因子，使其强制收敛，从而扩大了变换的使用范围。其中，s=σ+jω中的σ可以理解为起到了阻尼的作用，使系统稳定（但σ并不是实际中的物理阻尼）。

为了更清楚地认识传递函数和频响函数，将传递函数的经典三维视图显示如图4所示。

由图可知，左侧红色图中的极点峰值是无限大的。当用jω轴和纵轴组成的平面去切开传递函数曲面时，可以得到一条黑色实线，此实线即为频响函数。也就是说，频响函数是传递函数沿虚轴jω切出来的曲线，所以其取值只是虚部，表示的物理量只是频率。

在振动噪声领域，频响函数的应用更多，尤其是模态分析方面，频响函数被称为是输入输出之间的传递函数，但其表示的是线性时不变系统的输入和输出之间的频域关系。

频响函数是结构的输出响应与输入激励力之间的比值，利用频响函数可以识别得到结构的谐振频率、阻尼和振型。即共振峰值是被测结构的固有频率；阻尼与峰的宽度成正比，峰值越宽，阻尼越大；通过结构上的公共参考上采集的多个频响函数的幅值和相位，即可确定振型。

现在很多时候都不区分传递函数和频响函数，但通常试验测量的都是频响函数，只是习惯上称之为传递函数而已。

二、机械阻抗与导纳

机械阻抗定义为简谐激励时复数形式的输入与输出之比。设振动系统的质量为m，阻尼为c，刚度为k，受到简谐激励F₀的作用。经动力学推导后，可得输出与输入的比值为H(ω)，称为复频响应函数，其表达式如下：

H(ω)=1/(k-mω²+icω)

根据定义，可得位移阻抗为：

Z_x(ω)=1/H(ω)= k-mω²+icω

位移阻抗与复频响应函数互为倒数，H(ω)也称为导纳。

同样，输出为速度或加速度时，相应的机械阻抗就称为速度阻抗Z_v(ω)和加速度阻抗Z_a(ω)，表达式分别如下：

Z_v(ω)=Z_x(ω)/iω

Z_a(ω)=-Z_x(ω)/ω²

因此，与各阻抗相对应的导纳分别为位移导纳、速度导纳和加速度导纳。机械阻抗和机械导纳都仅取决于系统本身的动力特性（质量、刚度、阻尼），且都为复数。通过使用机械阻抗分析仪，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率、相对阻尼系数等参数。

三、奈奎斯特图

复频响应函数H(ω)经过变换后可求得其模和幅角，因此，H(ω)同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性。

此外，由于H(ω)是复数，可得到其实部Re(H)和虚部Im(H)，分别如下所示：

Re(H)=(1/k)[(1-s²)/Λ]

Im(H)= (-1/k)(2ξs/Λ)

其中，Λ=(1-s²)²+(2ξs)²。分别作出实部和虚部对s的曲线如图5所示。

由图可知，当发生共振时s=1，此时实部Re(H)=0，虚部Im(H)近似为最大值。

用频率比s或相对阻尼系数ξ作变量，将H(ω)画在复平面上，由此得到的曲线图称为奈奎斯特图，如图6所示。

当给定一个阻尼系数时，则给出一个s值就可以得到相应的实部和虚部的值。

粘性阻尼系数的奈奎斯特图是一个近似的圆，并且在共振点附近曲线的弧长随s的变化率是最大的。 

四、幅频特性

对于一个受简谐激励的单质量振动系统，如图7所示。此时，系统的响应也为简谐响应。

经过推导可得m的振幅A如下所示：

A=β(s)F₀/k

其中，F₀为激振力；k为弹簧刚度；β(s)为幅频响应函数，表达式如下：

β(s)=1/[(1-s²)²+(2ξs)²]^1/2

式中，s为频率比，s=ω/ω₀；ξ为相对阻尼系数。

线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激励频率，而相位滞后于激振力的简谐振动。稳态响应的振幅和相位只取决于系统本身的物理性质（质量、刚度、阻尼）和激振力的频率及幅值，与系统进入运动的方式（即初始条件）无关。

以s为横坐标，β(s)为纵坐标，作出不同相对阻尼系数ξ下的幅频响应特性曲线如图8所示。

下面分几种不同的情况对简谐激励作用下的稳态响应特性进行分析：

1、s<<1，即激励频率ω远小于系统固有频率ω₀。由β(s)表达式可得幅频响应函数β(s)≈1，对应图8中的左侧部分（s约在0~0.5的范围），此时系统响应的振幅A与静位移B相当；

2、s>>1，即激励频率ω远大于系统固有频率ω₀。则幅频响应函数β(s)≈0，对应图8中的右侧部分（s约在2以后的范围），此时系统的响应振幅很小，也就是基本不振；

上述两种情况下，不同ξ值的曲线密集存在，说明阻尼对这两种情况下的响应影响不显著，可以认为是无阻尼系统。

3、s≈1，即激励频率ω约等于系统固有频率ω₀。由图8可知，当ξ值逐渐变小时，响应函数β(s)会迅速增大；

ξ=0时，β(s)趋于无穷大，此时系统即发生共振。但共振对于来自阻尼的影响很敏感，如图8所示的不同阻尼的曲线，在s=1附近的区域内，稍微增加阻尼后就会使振幅有明显下降。

4、对于有阻尼系统，β(s)的最大值并不出现在s=1处，而是稍微偏左的位置。将β(s)对s求导，可得其最大值β_max(s)如下式所示：

β_max(s)=1/[2ξ·(1-ξ²)^1/2]

5、ξ>1/(2)^1/2，由图8可知，此时β(s)<1，此时系统振幅是没有极值的。

五、相频特性

先介绍一下品质因子的内容。定义s=1时的幅频响应函数β(s)为品质因子Q，则：

Q=β_s=1=1/2ξ

对于确定的阻尼系数，可得β(s)-s的曲线及品质因子的相关特征点如图9所示。

其中，s₁=ω₁/ω₀，s₂=ω₂/ω₀，是共振峰两侧β=Q/(2^1/2)与曲线的两个交点。令Δω=ω₂-ω₁，称为半功率带宽，经过推导可得品质因子Q与半功率带宽Δω的关系为：

Q≈ω₀/Δω

由上式可知，阻尼越弱，品质因子Q越大，带宽越窄，则共振峰越陡峭。

接下来进行相频特性的介绍，仍以图7所示的单质量系统为例进行分析。经推导可得系统的相位响应函数θ(s)为：

θ(s)=tg^-1[2ξs/(1-s²)]

以s为横坐标，θ(s)为纵坐标，可以作出不同阻尼系数ξ下的相频特性曲线，如图10所示。

下面同样分几种不同的情况对其进行分析：

1、s<<1，即激励频率ω远小于系统固有频率ω₀。由θ(s)表达式可得θ(s)≈0，对应图10中左下角的部分。由于输入是简谐运动，且系统中本应有阻尼存在产生的相位差，而θ≈0则意味着位移与激振力在相位上几乎相同；

2、s>>1，即激励频率ω远大于系统固有频率ω₀。则θ≈π，说明此时位移与激振力是反相的，即当激振力往左时，则位移正好往右。从物理意义上解释即为，由于频率太快，位移跟不上激振力；

3、s≈1，即激励频率ω约等于系统固有频率ω₀，发生共振。由图10可知，此时位移与激振力的相位差恒为π/2，与阻尼无关。

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