信号采样与混叠

信号的分析处理是对各种类型的信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称。本文主要对信号采样与混叠的相关内容进行简单介绍。

一、概述

信号的基本类型可分为确定信号和随机信号。简单的声音信号看起来是确定信号，但多个声音听起来就像是随机的。实际中的信号通常是确定信号和随机信号的混合体。

不同类型信号的相关内容主要包括以下几个方面：

1、确定信号可分为周期性信号和非周期性信号。非周期性信号又可分解为接近周期性或瞬态的信号；

2、确定性信号通常定义为时间的函数，而随机信号常按统计特性进行定义。确定性信号可以被预测，而随机信号由于存在瞬态值，不能被预测；

3、概率密度函数反映了随机变量的基本属性，随机变量ε落在x~x+Δx区间的概率正比于区间长度Δx，即：

P{x<ε≤x+Δx}=p(x)Δx

其中，比例系数p(x)称为概率密度函数。这里的p(x)是一维的，对于二维和多维的则称为联合概率密度函数。

概率密度函数是随机信号的基本属性，可用来定义平均值和方差，而方差开根号之后就得到标准差；

4、随机信号的一个重要属性是稳定性，对于一个稳态随机信号，其联合概率密度函数不会随着时间和空间而发生改变。所以，其均值或方差也不会随时间改变。稳态信号和非稳态信号的区别如图1所示。

5、连续信号和离散信号，二者对比如图2所示。

如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，则称该信号为连续信号。而离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上有给定的函数值。

通常认为模拟信号是连续的，数字信号是离散的，但模拟信号并不等同于连续信号。

6、各态历经信号是指无限个样本在某时刻所经历的状态等同于某个样本在无限时间里所经历的状态，其一定是平稳随机信号。

各态历经信号遵循各态历经原理，即允许信号的时间均值等于总体平均值。在实际中，这就意味着可以在一组确定信号的某个瞬间进行统计采样，或者在无限时间里对一个单独的信号进行采样，对于测量结果来说二者没有区别。

二、信号的采样

信号的数字化是指将模拟信号转化为数字信号的过程。其中，数字信号是离散时间的函数，或者是一系列的样本。数字化主要包含两个方面的内容：采样和量化。

1、采样，常用的是等时间间隔的采样，即每个采样点之间的时间间隔都是固定的。在离散时间t_n=n·T_s内，通过一个模拟连续时间信号x(t)的采样就会得到一系列的样本，其中T_s是一个采样周期，n为一个整数。

任意一块采集卡，如果不改变采样频率时，采集得到的数据都是等时间间隔的。对于定频信号，在满足采样定理的前提下，如果采样频率为信号频率的整数倍，经过FFT后即可得到准确的频谱信息；但对于变频信号，等时间间隔采样会引起频谱泄漏。

由于振动和噪声信号的平均值为0，所以其标准差和RMS值在数值上是一样的。

2、量化，是模拟信号转换为数字信号（AD转换）的一部分，它可以将离散时间内，信号的实际输入值变成圆整的输出值。不过，圆整的结果也使信号中出现了额外的量化噪声。

3、采样定理。在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁，且其给出了采样频率与信号频率之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

4、采样频率，也称为采样速度，单位是Hz，定义了每秒钟从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数。

采样频率必须大于信号的频率才能保证不失真，频率分辨率越小，则精度越高。如果采样频率是1000，则代表它每秒钟采1000个点；如果采样点数为100，则每秒钟向计算机传送10次；如果采样频率为1000，采样点数也设为1000，则数据的更新率是1次/每秒；如果采样频率为1000，采样点数设为100，则数据的更新率是10次/每秒。

5、采样率，表示每秒采样点的个数，其单位是：个/秒。其决定了信号的精度。

例如当采样点为100时，数据的更新率为20次，即传输了二十次数量为100的采样点，所以此时的采样频率即为100×20=2000 (Hz) 或者说是2000（次/秒）。

6、采样定理，由上述可知，将信号从一系列时间上等间隔的样本中进行重构时，其采样间隔并不是随便选取的，而是受信号重构要求的影响。以正弦信号为例，如图3所示。

记正弦信号波形的长度为T，根据曲线过0的次数可以确定原始正弦信号的频率。在统计过0次数的过程中，将样本信号的点通过一条直线连接起来。如上图所示，这里选择了两个不同的采样间隔T_S1和T_S2。其中，T_S1小于正弦信号波形的一半，而T_S2大于正弦信号的半周期长度。周期信号T的频率是f=1/T，则两个不同采样间隔的采样频率就分别为f_s1=1/T_S1和f_s2=1/T_S2。

很明显，只有当T_S1<T/2时，采样信号的过0次数才等于原始信号的过0次数。因此，采样频率f_s要想维持正弦信号的频率f，必须满足采样定理，即：

T_S<T/2→ f_s>2f

也就是说，在进行模拟/数字信号的转换过程中，只有当采样频率大于信号中最高频率的2倍时，采样之后的数字信号才能完整地保留原始信号中的信息。一般实际应用中通常会保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍。又常称采样频率的一半（即f_s/2）为奈奎斯特频率，因此采样定理又称奈奎斯特定理。

三、信号混叠

前面提到，只有当采样频率大于信号中最高频率的2倍时，采样之后的数字信号才能完整地保留原始信号中的信息，如果不满足采样定理，则会发生信号的混叠，如图4所示。

可知，对一个正弦信号进行采样时，如果采样频率等于信号频率，则采样的时间间隔等于信号的周期，即信号的每个周期只能采集到一个数据，如图4中的最上图所示。将这些采样数据点连起来后得到的线条将是一条直线，对应的频率成分为0Hz。

如果采样频率为正弦信号的频率成分的2倍，则采样的时间间隔为信号周期的一半，因此，信号每个周期内的采样点数为2，如图4中间的图所示。将这些采样点连成线条得到的信号形状为三角波，虽然信号的频率成分没有失信，但是很难保证信号的幅值不失真。因为这两个采样点很难位于正弦信号的波峰与波谷处。所以，在很大程度上采样后信号的幅值也是失真的。

图4最后的图表示的是采样频率为正弦信号的频率4/3倍，很明显，此时得到的信号已经失真，即采样信号已经不能保持原信号的频谱特性了。

消除频率混叠的途径有两种：

1、提高采样频率f_s。即缩小采样时间间隔。然而实际的信号处理系统不可能达到很大的采样频率。另外，许多信号本身可能含有0~+∞范围内的频率，不可能将采样频率提高到+∞。所以，通过提高采样频率避免混叠的方法是有限制的，一般是先确定最高分析频率，再由最高分析频率确定采样频率；

2、采用抗混滤波器。在采样频率f_s一定的前提下，使用低通滤波器滤掉高于f_s/2的频率成分，通过低通滤波的信号即可避免出现频率混叠。

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